تعداد بازدید ها: 65,248
همان‌طور که در بخش اول مبحث انتگرال نیز بیان شد، از این مفهوم می‌توان در محاسبه مساحت، حجم و بسیاری دیگر از پارامترها استفاده کرد. اما ریشه کاربرد انتگرال، محاسبه مساحت سطح زیر نمودارها است. در این بخش قصد داریم تا در مورد قوانین حاکم در محاسبات انتگرال بحث کنیم. قوانین مطرح شده در محاسبه انتگرال دوگانه و انتگرال روی سطوح خمیده نیز کاربرد خواهد داشت. البته در آینده نحوه محاسبه انتگرال در دستگاه استوانه‌ای نیز توضیح داده می‌شود.
فیلم آموزش انتگرال و روش های محاسبه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
انتگرال توابع پایه
به منظور محاسبه انتگرال یک تابع در ابتدا بایستی با قوانین حاکم در عبارت‌های انتگرالی آشنا باشیم. با استفاده از انتگرال توابع بنیادی، می‌توان این مقدار را برای بسیاری دیگر از توابع نیز محاسبه کرد. در جدول زیر انتگرال چند تابع پرکاربرد و همچنین قوانین حاکم بر آن‌ها ذکر شده است.
| ax+C | $$\int a dx$$ | تابع ثابت |
| $${x^2 \over 2} + C$$ | $$\int x dx$$ | تابع خطی |
| $${x^3 \over 3} + C$$ | $$\int x^2 dx$$ | سهمی درجه ۲ |
| $$Ln|x| + C$$ | $$\int{ 1 \over x} dx$$ | تابع وارون |
| $$e^x +C$$ | $$\int e^x dx$$ | توابع نمایی |
| $${a^x \over ln(a)}+ C$$ | $$\int a^x dx$$ | |
| x ln(x) − x + C | $$\int ln(x)dx$$ | |
| sin(x)+C | $$\int cos(x)dx$$ | توابع مثلثاتی |
| – cos(x)+C | $$\int sin(x)dx$$ | |
| tan (x) + C | $$\int sec^2xdx$$ | |
| $$c \int f(x)dx$$ | $$\int cf(x)dx$$ | ضرب در یک ثابت |
| $${x^{n+1} \over {n+1}}+C$$ | $$\int x^n dx$$ | قانون توان |
| $$\int {fdx}+ \int {g dx}$$ | $$\int {(f+g)} dx$$ | قانون جمع |
مثال‌ها
در این قسمت به بررسی مثال‌هایی خواهیم پرداخت که در آن‌ها از قوانین معرفی شده در جدول بالا استفاده شده است.
مثال ۱
انتگرال تابع $$\sqrt x$$ را بیابید.
در جدول بالا قانون توان را به شکل زیر معرفی کردیم.
$$\int x^n dx= {x^{n+1} \over {n+1}}+C$$
با جایگذاری 0.5 به جای n، خواهیم داشت.
$$\int {\sqrt {x}}dx=\int {x^{1 \over 2}}dx={x^{1.5} \over 1.5}+C$$
مثال ۲
حاصل انتگرال تابع $$6x^2$$ را بیابید.
با توجه به ثابت بودن عدد ۶، آن را از انتگرال خارج کرده و داریم:
$$\int 6x^2dx=6 \int x^2dx$$
حال با استفاده از قانون توان و جایگذاری 2 به‌جای n، خواهیم داشت:
$$6 \int x^2dx=6{x^3 \over 3}+C=2x^3+C$$
مثال ۳
حاصل عبارت $$\int (cos x +x )dx$$ را بیابید.
با استفاده از قانون جمع، می‌توان انتگرال دو عبارت را به صورت مجزا با یکدیگر جمع کرد. بنابراین داریم:
$$\int (cos x +x )dx=\int cos xdx+ \int xdx=sin x + {x^2 \over 2} +C$$
مثال ۴
انتگرال تابع $$8z+4z^3-6z^2$$ را بیابید.
با استفاده از قانون جمع می‌توان نوشت:
$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=\int 8zdz+\int 4z^3dz-\int6z^2dz$$
حال قادریم تا ضرایب ثابت را از زیر انتگرال بیرون کشیده و عبارت بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم.
$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=8 \int zdz+4 \int z^3dz-6 \int z^2dz$$
در عبارت بالا هریک از انتگرال‌ها را می‌توان با استفاده از قانون توان بدست آورد. بنابراین حاصل آن برابر است با:
$$= {8z^2 \over 2} + {4z^4 \over 4} −{ 6z^3 \over 3} + C$$
$$= 4z^2+z^4-2z^3+ C$$
در بخش آینده، حل انتگرال به روش جزء به جزء را تشریح خواهیم کرد. همچنین انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی در مطلب «انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی» مورد مطالعه قرار گرفته است.
اگر به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات علاقه‌مند هستید، احتمالا می‌توانید از آموزش‌های زیر نیز بهره‌مند شوید:
- مجموعه آموزشی دروس دبیرستان
- مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
- آموزش ریاضیات عمومی ۱
- انتگرال توابع مثلثاتی — به زبان ساده
- انتگرال دوگانه — به زبان ساده
- انتگرال به زبان ساده — بخش اول: مفاهیم
- محاسبه انتگرال به روش تغییر متغیر — از صفر تا صد
^^
«مجید عوض‌زاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.
بر اساس رای 120 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟