معادلات دیفرانسیل همگن

نویسنده : میترا نادری | زمان انتشار : 10 آذر 1399 ساعت 14:35

یک معادله را معادله همگن می نامیم که اگر رابطه زیر به ازای هر عدد حقیقی λ {\displaystyle \lambda } $b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a$ برقرار باشد:

f ( x , λ y , λ y ′ , λ y ″ ) = λ n f ( x , y , y ′ , y ″ ) {\displaystyle f(x,\lambda y,\lambda y',\lambda y'')=\lambda ^{n}f(x,y,y',y'')} $add782b7047abc5fe8f1a11bf135a4fd307e1285$

برای مثال برای معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول داریم:

d y d x = F ( x , y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F(x,y)} $0ce1c0fec014c11b4d82e762fc9b4f171b031fe3$

به عبارت دیگر معادله همگن است اگر با تبدیل y {\displaystyle y} $b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d$ ، y ′ {\displaystyle y'} $3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b$ و y ″ {\displaystyle y''} $147ec60507e44a6d376237c0a16132cf7461cd62$ به λ y {\displaystyle \lambda y} $f60fc2a437891c99404c1e3e0ec184d78ecde5f5$ ، λ y ′ {\displaystyle \lambda y'} $c71bbc7bb0f175176c8e74993573d999ab34bacd$ و λ y ″ {\displaystyle \lambda y''} $f054f8c317b37ccb5e7d3433ab0c7ccdcf01157c$ شکل اویه تابع با توانی از λ {\displaystyle \lambda } $b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a$ ظاهر شود؛ و این موضوع زمانی ممکن است که یکایک جملات معادله بر حسب y {\displaystyle y} $b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d$ ، y ′ {\displaystyle y'} $3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b$ و y ″ {\displaystyle y''} $147ec60507e44a6d376237c0a16132cf7461cd62$ از یک درجه یکسان باشند.

در این صورت f {\displaystyle f} $132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61$ را تابع همگن از درجه λ {\displaystyle \lambda } $b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a$ یا n {\displaystyle n} $a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b$ می‌نامیم؛ و برای حل آن از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم. y= vx dy=vdx+xdv