همگرایی دنباله های بازگشتی

در این مقاله، سعی بر آن داریم که مطالب مفید و جامعی از دنباله ها (sequence) و سری ها (Series) در ریاضیات، را بیان کنیم. در ابتدا الگوها را بررسی کرده سپس مفهوم دنباله و انواع دنباله ها را به تفکیک شرح می دهیم و در انتها مقاله را با بررسی مبحث سری ها به پایان می رسانیم.

بسیاری از پدیده های طبیعی در اطراف ما و در زندگی روزمره از الگوهای خاصی پیروی می کنند. نظم ثابتی که در جهان وجود دارد را نیز می توان به کمک الگوهای ریاضی نشان داد. در ریاضیات اعداد از الگوهای بیشمار و جالبی برخوردارند. بسیاری از این الگوها را با نام های مشخصی می شناسیم. دنباله‌های حسابی، هندسی، فیبوناچی و اعداد مثلثی نمونه هایی از این الگوها هستند که هر کدام شرایط ویژه ای دارند و از قوانین خاصی پیروی می کنند و در ادامه به تفصیل هر کدام خواهیم پرداخت.

دنباله‌ها – Sequences

دنباله، تابعی با دامنه اعداد طبیعی (یا زیرمجموعه ای از اعداد طبیعی) و برد آن مجموعه ای نا تهی است. اعدادی که در برد دنباله قرار دارند را جملات دنباله گوییم. این توابع، کاربردهای زیادی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و دیگر شاخه‌های ریاضیات دارد. گاهی، نام دنباله تغییرمی‌کند به عنوان مثال در نظریه تحلیلی اعداد، به دنباله‌ها، تابع حسابی می‌گویند.

Sequences

جمله عمومی دنباله

برای مشخص کردن یک دنباله، مثل هر تابع دیگری دامنه و ضابطه آن را مشخص می‌کنیم. در اصطلاح عمومی به ضابطه دنباله، جمله عمومی دنباله گویند. جمله عمومی یک دنباله در واقع قانونی است که از طریق آن هر عضو دامنه به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود یعنی، جمله عمومی به ازای هر مقدار از متغیر\(n\)، جملات دنباله را تولید می‌کند. جمله عمومی یک دنباله را با نماد \({a_n}\) نمایش می دهیم.

رابطه بازگشتی – دنباله بازگشتی

در بسیاری از دنباله ها بین هر دو جمله متوالی ارتباطی وجود دارد که به وسیله آن می توان جمله بعدی دنباله را تعیین نمود. به چنین رابطه ای، رابطه بازگشتی دنباله مذکور گوییم. دنباله هایی که دارای چنین رابطه هایی هستند را دنباله های بازگشتی می‌نامند.

حد دنباله

با توجه به اینکه می دانیم دنباله یک تابع است پس، می توان حد تابع دنباله را محاسبه نمود. حد یک دنباله مقداری است که در صورت وجود، جمله‌های آن دنباله با پیش‌روی به اندازه دلخواه، به آن نزدیک می‌شوند.

گوییم دنباله \({a_n}\) دارای حد \(L\) است، هرگاه برای هر عدد \(\varepsilon > 0\)، عددی طبیعی مانند \(M\) وجود داشته باشد به طوری که برای هر عدد طبیعی \(n\) که \(n \ge M\)، نابرابری \(\left| {{a_n} – L} \right| < \varepsilon \) برقرار باشد.

حد دنباله در صورت وجود یکتا می‌باشد. یعنی، اگر

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = {l_1},\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = {l_2} \Rightarrow {l_1} = {l_2}\)

یکی از ویژگی‌های حد دنباله به صورت ذکر شده در زیر است.

اگر برای هر \(n\) بزرگتر از \({N_0}\) ( از یک جایی به بعد) داشته باشیم \({a_n} \ge {b_n}\) آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ge \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n}\) .

قضیه فشردگی در دنباله‌ها

اگر برای هر \(n\) بزرگتر از \({N_0}\) ( از یک جایی به بعد) داشته باشیم \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) و نیز، \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = l\) آنگاه داریم:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = l\)

انواع دنباله‌ها

در ادامه انواع دنباله‌ها را مورد بررسی قرار داده و ویژگی‌ها و شرایط هر کدام را ذکر می‌کنیم.

1- دنباله حقیقی (Real sequence)

دنباله ای که برد آن مجموعه اعداد حقیقی باشد.

Finite & Infinite sequence

2- دنباله متناهی (Finite sequence)

اگر دامنه دنباله زیر مجموعه ای متناهی (قطعه ای) از اعداد طبیعی باشد، دنباله را متناهی گوییم.

3- دنباله نامتناهی (Infinite sequence)

اگر دامنه دنباله مجموعه اعداد طبیعی یا زیر مجموعه ای نامتناهی از اعداد طبیعی باشد، دنباله را نا متناهی گوییم.

4- دنباله کراندار (Boundary sequence)

دنباله \({a_n}\) را کراندار است هر گاه عدد حقیقی و مثبت \(k\) چنان وجود داشته باشد که \(\forall n \in N;\left| {{a_n}} \right| \le k\).

هر دنباله کرانداردارای کران بالا و کران پایین است.

دنباله ای که کراندار نباشد را بی کران گوییم.

هر دنباله همگرا کراندار است.

5- دنباله یکنوا (Monotone sequence)

اگر دنباله‌ای صعودی یا نزولی باشد یکنوا نامیده می‌شود. اگر دنباله‌ای اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد اکیداً یکنوا نامیده می‌شود. با مشخص کردن جملات یک دنباله می‌توان تشخیص داد که دنباله یکنوا نیست.

دنباله \({a_n}\) را صعودی (صعودی اکید) گوییم هرگاه به ازای هر \(n \in \mathbb{N}\)، داشته باشیم؛ \({a_n} \le {a_{n + 1}}\). یعنی، هر جمله از جمله بعدی کوچکتر یا مساوی باشد.

دنباله \({a_n}\) را نزولی (نزولی اکید) گوییم هر گاه به ازای هر \(n \in \mathbb{N}\)، داشته باشیم؛ \({a_{n + 1}} \le {a_n}\). یعنی، هر جمله از جمله بعدی بزرگتر یا مساوی باشد.

بنا به قضیه‌ای داریم هر جمله یکنوا و کراندار همگراست. این قضیه زمانی مورد استفاده است که بخواهیم همگرایی یک دنباله را بررسی کنیم.

6- دنباله حسابی (تصاعد حسابی – Arithmetic sequence)

دنباله حسابی یا تصاعد حسابی (arithmetic progression)، دنباله ای از اعداد است که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت مثلا \(d\) باشد. به این مقدار ثابت، قدر نسبت تصاعد حسابی گفته می شود.

در دنباله حسابی \({a_n}\)، مجموع \(n\) جمله اول را با نماد \({S_n}\) نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:

\({a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n} = {S_n}\)

اگر \({a_1}\) جمله اول، \({a_n}\) جمله \(n\) ام و\(d\) قدر نسبت دنباله حسابی باشد، مجموع \(n\) جمله اول از رابطه های زیر بدست می آید:

\({S_n} = \frac{n}{2}\left( {{a_1} + {a_n}} \right);or,{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{a_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]\)

دنباله حسابی- Arithmetic sequence

7- دنباله هندسی (تصاعد هندسی – Geometric sequence)

دنباله هندسی یا تصاعد هندسی (geometric progression)، دنباله ای از اعداد است که از جمله اول به بعد هر جمله برابر است با حاصلضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت (مخالف صفر و یک) مثلا \(r\). به این مقدار ثابت قدر نسبت تصاعد هندسی گفته می شود.

در دنباله هندسی \({a_n}\)، مجموع \(n\) جمله اول را با نماد \({S_n}\) نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:

\({a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n} = {S_n}\)

اگر \({a_1}\) جمله اول، \({a_{n + 1}}\) جمله \(\left( {n + 1} \right)\) ام و \(q\) قدر نسبت دنباله هندسی باشد، مجموع \(n\) جمله اول از رابطه های زیر بدست می آید:

\({S_n} = \frac{{{a_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{{a_1}\left( {{q^n} – 1} \right)}}{{q – 1}}\)

یا

\({S_n} = \frac{{{a_1} – {a_{n + 1}}}}{{1 – q}} = \frac{{{a_{n + 1}} – {a_1}}}{{q – 1}}\)

8- دنباله همگرا (Convergence sequence)

اگر \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) یعنی، حد دنباله \({a_n}\) وقتی \(n\) به سمت \(\infty \) میل می کند برابر \(L\) باشد آنگاه گوییم دنباله \({a_n}\) به \(L\) همگراست و \({a_n}\) را دنباله ای همگرا می نامیم.

9- دنباله واگرا (Divergent sequence)

اگر برای دنباله \({a_n}\) در تعریف حد دنباله، عدد حقیقی \(L\) وجود نداشته باشد دنباله \({a_n}\) را دنباله ای واگرا می نامیم.

دنباله های واگرا به دو دسته تقسیم می شوند.

10- دنباله فیبوناتچی (Fibonacci sequence)

Leonardo Fibonacci

لئوناردو فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) ریاضیدان ایتالیایی است که در سال ۱۲۰۲ با علاقه مندی به این موضوع که اگر یک جفت خرگوش نر و ماده وجود داشته باشد و ویژگی هایی را برای آنها در نظر بگیریم پس از \(n\) ماه چند جفت خرگوش خواهیم داشت؟

ویژگی های که لئوناردو فیبوناتچی در پیدا کردن نتیجه این سوال به عنوان فرضیات مد نظر قرار داده بود به این شرح است:

۱- یک جفت خرگوش نرو ماده تازه متولد شده داریم.

۲- این دو خرگوش پس از یک ماه بالغ می شوند.

۳- دوران بارداری خرگوش ها یک ماه است.

۴- خرگوش ماده پس از رسیدن به سن بلوغ حتما باردار می شود.

۵- نتیجه هر بارداری خرگوش ماده، یک جفت خرگوش نر و ماده است.

۶- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

با محاسبه تعداد خرگوش ها در ماه های اول، دوم، سوم و … به نتیجه‌ای دست یافت که امروز آن را با نام دنبال فیبوناتچی می‌‌شناسیم. اولین سری این عددها به صورت زیر است:

دنباله فیبوناتچی دنباله ای از اعداد است که در آن به جز دو جمله اول، هر جمله از مجموع دو جمله قبلی بدست می آید و نمایش تابعی آن به صورت زیر است:

1،1،2،3،5،8،13،21،34،55،89،144،233،377،610،987،1597،2584،4181،6765،10946،17711

Fibonacci sequence

در این دنباله مشهور یک خاصیت بسیار جالبی که وجود دارد این است که خارج قسمت هر دو جمله متوالی آن، نزدیک به عدد ۱.۶۱۸ است که به آن نسبت طلایی گفته می شود.

این دنباله خواص شگفت انگیز و کاربردهای فراوانی دارد. در جهان گسترده پیرامون نظم خاصی حاکم است که پیشرفت علم، اسرار این نظم را بر همگان آشکار می کند. ریاضیات یکی از علوم پایه و مهم است که به چرایی نظم خاص طبیعت پاسخ می دهد.

یکی از زیبایی‌های ریاضیات نسبت طلایی (Golden Ratio) است که از اندام انسان گرفته تا آثار برجسته هنر و معماری و همین‌طور در دانه‌های گل آفتابگردان رد آن یافت می شود. عدد طلایی یا نسبت طلایی ۱.۶۱۸ حاصل تلاش دانشمندانی چون اقلیدس، لوکاپاچیولی و لئوناردو فیبوناچی است. محققان بر این باور هستند که ​ زیباترین سطوح و اشکال آنهایی است که نسبت طلایی در آنها به کار رفته باشد. اجسام و اشیایی که با این نسبت ساخته می شوند دارای تقارن و زیبایی خاصی هستند که از نظر چشم انسان بسیار زیبا جلوه گر می شوند.

عدد طلایی را معمولا با حرف یونانی “\(\Phi \)” و به صورت زیر نمایش می دهند.

\(\Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = 1.618033988749894848204586834366\)

Golden Ratio

نسبت طلایی در زمینه‌های زیر یافت می‌شود:

۱- اگر در پاره خطی، نسبت قسمت بزرگ‌تر به کوچک‌تر برابر با نسبت کل خط به قسمت بزرگ باشد، این نسبت قطعاً عدد طلایی و برابر ۱.۶۱۸ است.

۲- تعریف دیگر نسبت طلایی: عددی ثابت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم، به مربع آن خواهیم رسید یعنی، \({a^2} = a + 1\).

۳- تعبیر هندسی مورد فوق، مستطیل طلایی (Golden Rectangle) می باشد که عرض آن یک واحد کمتر از طول آن است.

Golden Spiral or Fibonacci

۴- یکی دیگر از حوزه‌هایی که نشانی از نسبت طلایی در آن پیدا می‌کنید، دنباله فیبوناچی است. در این دنباله که عبارت است از ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱ و… اگر اعداد پس از ۲ را در نظر بگیریم و هر کدام را به عدد ماقبل خود تقسیم کنیم، شاهد اعدادی بسیار نزدیک به عدد نسبت طلایی یا ۱.۶۱۸ خواهیم بود. هر چه بیشتر این تقسیم را ادامه دهید، عدد حاصل به نسبت طلایی نزدیک‌تر می‌شود.

۵- از مارپیچ‌های دی‌ان‌ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان‌ها و تمام زیبایی‌های طبیعت ازجمله برگ‌های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ‌های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است.

Fibonacci sequence in nature

fibonacci sequence in garden

۶- این عدد در معماری باستان و معاصر ایران و جهان نیز کاربرد فراوانی داشته است. از آن جمله می‌توان به هرم جیزا در مصر، برج آزادی تهران، قلعه دالاهو در کرمانشاه، بنای بیستون کرمانشاه و مقبره ابن سینا در همدان اشاره کرد. برای مثال ابعاد بنای بیستون کرمانشاه پنج کیلومتر در سه کیلومتر ذکر شده که اعداد چهارم و پنجم دنباله فیبوناچی‌اند. با تقسیم این دو عدد​ به عدد ۱.۶ می‌رسیم که بسیار نزدیک به عدد طلایی است.

۷- این عدد در بدن انسان نیز بسیار کاربرد دارد. زیبایی چهره، زیبایی خنده، تناسب اندام و خوش‌تیپی همه و همه از شاه کارهای الهی در آفرینش انسان است. اگر نگاهی به تاریخچه عدد طلایی بیندازید، می‌بینید لئوناردو داوینچی اولین نفری است که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری و ثابت کرد این نسبت ضریبی از عدد طلایی است.

۸- در سنجش تناسب اندام خود می‌توانید فاصله انگشتان پا تا ناف را بر فاصله ناف تا بالای سر تقسیم و حاصل را با عدد ۱.۶۱۸ مقایسه کنید. هر چه این عدد به ۱.۶۱۸ نزدیک‌تر باشد به این معنی است که شما تناسب اندام خوبی دارید. چنین نشانه‌هایی که در آنها می‌توان به نسبت طلایی رسید، در بدن انسان بسیار زیاد است.

۹- یکی از دیگر ویژگی‌های جالب توجه نسبت طلایی این است که اگر فاصله شهر مکه تا قطب شمال را بر فاصله این شهر تا قطب جنوب تقسیم کنیم، عددی بسیار نزدیک به عدد طلایی به دست می‌آید. بر این اساس می‌توان گفت شهر مکه در نقطه طلایی زمین قرار دارد. علاوه بر این، بررسی‌های انجام شده نشان داده است​ شهر مکه در نقطه طلایی عربستان و بنای کعبه در نقطه طلایی شهر مکه قرار دارد.

نسبت فاصله مکه تا قطب جنوب به فاصله آن تا قطب شمال دقیقا برابر ۱٫۶۱۸ است. علاوه بر این نسبت فاصله قطبین به فاصله مکه تا قطب جنوب بار دیگر برابر ۱٫۶۱۸ است.

فاصله مکه تا قطب جنوب=۱۲۳۴۸٫۳۲ کیلومتر

فاصله مکه تا قطب شمال=۷۶۳۱٫۶۸ کیلومتر

با توجه به نقشه ی عرضی و طولی زمین که توسط انسان ها طراحی شده نقطه ی نسبت طلایی زمین در مکه است. نسبت فاصله غرب این نقشه تا مکه به فاصله شرق آن تا مکه باز برابر ۱.۶۱۸ می باشد. علاوه بر این همانطور که در شکل می بینید، نسبت فاصله شرق تا غرب این نقشه به فاصله غرب نقشه تا مکه با کمال شگفتی باز برابر ۱.۶۱۸ می باشد. با توجه به تمام سیستم های نقشه برداری با کمی اختلاف جزئی اندازه گیری نقطه ی نسبت طلایی جهان همواره در محدوده ای از شهر مکه است که کعبه ی مقدس در آن محدوده می باشد.

11- دنباله کُشی (Cauchy Sequence)

دنباله ای است که جملات آن با پیش رفتن دنباله به هم نزدیک و نزدیکتر می شود.

برای دنباله کوشی دو تعریف هم در فضای اعداد حقیقی و هم در فضای متریک داریم که به تعریف هر کدام می پردازیم.

در فضای اعداد حقیقی، دنباله \({a_1},{a_2},{a_3},…\) یک دنباله کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه \(\varepsilon \)، عدد صحیح \(N\) وجود داشته باشد به قسمی که برای تمام \(m,n > N\) داشته باشیم:

\(\left| {{a_m} – {a_n}} \right| < \varepsilon \)

در فضای متریک با متریک \(\left( {X,d} \right)\)، دنباله \({a_1},{a_2},{a_3},…\) یک دنباله کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه \(\varepsilon \)، عدد صحیح \(N\) وجود داشته باشد به قسمی که برای تمام \(m,n > N\) داشته باشیم:

\(d\left( {{a_m},{a_n}} \right) < \varepsilon \)

Cauchy Sequence

12- دنباله اعداد مثلثی (Triangular Number Sequence)

این دنباله از روی الگوی نقاطی که یک مثلث را تشکیل می‌دهند، به وجود می‌آید. با اضافه کردن ردیف دیگری از نقاط و شمارش تمام نقاط در هر مرحله، می‌توان عضو بعدی را پیدا کرد.

می‌توانیم یک «ضابطه» برای این دنباله بنویسیم تا بتوانیم هر عدد مثلثی را به دست بیاوریم. در ابتدا، نقاط را تشکیل می‌دهیم و به هر الگو یک شماره مانند \(n\) اختصاص می‌دهیم.

سپس تعداد نقاط را دو برابر می‌کنیم و شکل آنها را به مستطیل تغییر می‌دهیم که دارای عرض \(n\)  و طول \(n + 1\) هستند. و \({a_n}\) تعداد نقاط در هر مستطیل را مشخص می کند.

بنابراین با توجه به دو برابر کردن تعداد نقطه ها داریم:

\({a_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

همگرایی و عدم همگرایی دنباله

دنباله \({a_n}\) به عدد \(L\) همگرا است اگر به ازای هر \(\varepsilon > 0\)، عدد طبیعی \(N\) وجود داشته باشد به قسمی که \(\forall n \in \mathbb{N}\) و \(n > N\) (از یک جایی به بعد) داشته باشیم:

\(\left| {{a_n} – L} \right| < \varepsilon \)

دنباله‌ای که به هیچ عددی همگرا نباشد دنباله واگرا نامیده می‌شود. همگرایی دنباله \({a_n}\) به عدد \(L\) معادل تعریف عدد \(L\) بعنوان حد در بی‌نهایت تابعی است که دنباله را تعریف می‌کند و چون حد تابع در هر نقطه منحصر بفرد است پس، \(L\) یکتاست.

بنا به قضیه ای داریم : هر دنباله یکنوا و کراندار همگرا است ( در این قضیه، هر دو شرط یکنوایی و کرانداری باید هم‌زمان برقرار باشد تا همگرایی نتیجه شود). از مهم‌ترین ویژگی‌های دنباله‌های همگرا کرانداربودن آنها است. بنابراین دنباله‌های همگرا زیر مجموعه ای از مجموعه دنباله‌های کراندار هستند.

عکس این مطلب برقرار نیست یعنی مجموعه دنباله‌های کراندار زیرمجموعه مجموعه دنباله‌های همگرا نیست. با توجه به مطالب بیان شده نتیجه مهم دیگری که می‌گیریم این است که: هر دنباله همگرا کراندار است اما، ممکن است دنباله‌ای کراندار باشد ولی همگرا نباشد مانند دنباله \({a_n} = {\left( { – 1} \right)^n}\) که کراندار اما واگرا است. در این مثال، دنباله نوسانی است و یکنوا نیست زیرا به ازای \(n\) های زوج عدد \( +1\) و برای \(n\) های فرد عدد \( – 1\) می شود.

سری‌ها – Series

در ریاضیات، سری اغلب به عنوان مجموع یک دنباله از گزاره‌ها (اعداد یا …) معرفی می‌شود. در ادامه انواع سری ها رو به تفکیک شرح می دهیم.

1- سری متناهی (Finite series)

سری های متناهی را می توان با اعمال جبری ساده محاسبه کرد.

finite series

2- سری نامتناهی (Infinite series)

برای محاسبه سری های نا‌متناهی باید از آنالیز کمک گرفت.

Infinite series

3- سری هندسی (Geometric series)

به مجموع جملات یک دنباله هندسی، سری هندسی گفته می شود و به صورت زیر تعریف می شود:

\(\sum\limits_{k = 0}^n {a{r^k} = a{r^0} + a{r^1} + a{r^2} + \cdots + a{r^n}} \)

که در آن \(a\) جمله اول و \(r\) را قدر نسبت سری هندسی می نامند.

4- سری توانی (Power Series)

مجموع \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} \) را یک سری توانی به مرکز\(0\) و مجموع \({\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\left( {x – c} \right)} ^n}\) را یک سری توانی به مرکز \(c\) گوییم. اگر \({a_n}\) ها اعدادی حقیقی باشند به سری توانی، سری توانی حقیقی گفته می شود.

5- سری همگرا (Convergence Series)

با فرض دنباله \({a_n}\)، دنباله \({S_n}\) مجموع جزئی \(n\) اُمین جمله دنباله ( مجموع جزئی اولین \(n\) جمله اول دنباله) است. به عبارت دیگر:

\({S_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} \)

یک سری را همگرا گوییم اگر دنباله \({S_1},{S_2},{S_3}, \ldots {\rm{ }}\) به یک مقدار حدی میل کند. به بیان دیگر، یک سری همگراست اگر برای هر عدد مثبت دلخواه و کوچک \(\varepsilon > 0\)، عدد صحیخ و بزرگ \(N\) چنان وجود داشته باشد که

\(\forall n \in N,n \ge N;\left| {{S_n} – l} \right| \le \varepsilon \)

Convergence Series

6- سری واگرا (Diverging series)

سری که همگرا نباشد را واگرا گوییم.

7- سری متناوب (Alternate series)

سری \({\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { – 1} \right)} ^{n + 1}}{a_n}\) را که در آن \({a_n}\) دنباله ای با جملات مثبت، نزولی و همگرا به صفر است یک سری متناوب نامیده می شود.

8- سری تلسکوپی (Telescopic Series)

اگر دنباله های \({a_n}\) و \({b_n}\) توسط رابطه \({a_n} = {b_n} – {b_{n + 1}}\) به هم مرتبط باشند و اگر\(\mathop {\lim }\limits_{b \to \infty } {b_n} = b \ne \infty\) وجود داشته باشد آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) تلسکوپی نامیده می شود و داریم:

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {b_1} – b\)

Telescopic Series

9- سری با جملات مثبت (Series with positive sentences)

اگر تمام جملات دنباله \({a_n}\) نامنفی باشد آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}}\) یک سری با جملات مثبت نامیده می شود.

شرط کُشی برای همگرایی سری‌ها

سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) همگراست اگر و تنها اگر برای هر \(\varepsilon > 0\) عدد طبیعی \(N\) وجود داشته باشد به قسمی که برای هر عدد طبیعی \(n > N\) و هر عدد طبیعی \(p\) داشته باشیم:

\(\left| {{a_{n + 1}} + {a_{n + 2}} + \cdots + {a_{n + p}}} \right| < \varepsilon \)

شرط فوق، شرط کشی برای همگرایی سری‌ها است بنابراین اگر سری مذکور همگرا باشد آنگاه؛ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\) و در صورتی که حد گفته شده مخالف صفر باشد آنگاه سری واگرا است.

از این قاعده (شرط کشی)، اغلب برای اثبات واگرایی سری‌ها استفاده می‌شود. زیرا ممکن است حد جمله عمومی برابر صفر باشد اما سری همگرا نباشد. در واقع، اگر حد مخالف صفر باشد بطور قطع سری واگراست ولی اگر مساوی صفر شد نمی‌توان نتیجه‌ای گرفت و باید از آزمون‌های مناسب دیگر استفاده کرد.

شعاع همگرایی (The condition of convergence)

فاصله همگرایی یک سری توانی، فاصله‌ای واقع بین نقاط \( – r\) و \( +r\) است ( یعنی بازه \(\left( { – r, + r} \right)\)) به طوری که به ازای نقاط \( x\) درون این فاصله، سری همگرایی مطلق و به ازای نقاط \(x\) بیرون آن سری واگراست. عدد \( r\) را شعاع همگرایی سری توانی می‌نامند.

ویژگی‌های سری توانی

۱- اگر سری توانی به مرکز صفر، به ازای عددد غیر صفر\(x = {x_1}\) همگرا باشد آنگاه سری مذکور،\(\forall x;\left| x \right| < \left| {{x_1}} \right|\) همگرای مطلق است.

۲- اگر سری توانی به مرکز صفر، به ازای عددد غیر صفر\(x = {x_1}\) واگرا باشد آنگاه سری مذکور، \(\forall x;\left| x \right| > \left| {{x_1}} \right|\) واگرای مطلق است.

۳- سری توانی به مرکز صفر به ازای \(x = 0\) همگرا و به ازای هر مقدار \(x \) همگرای مطلق است.

۴- اگر عدد مثبت \(r\) وجود داشته باشد به قسمی که \(\left| x \right| < r\) آنگاه سری توانی به مرکز صفر همگرای مطلق است و اگر \(\left| x \right| > r\) سری توانی به مرکز صفر واگراست.

قضیه مشتق گیری سری توانی

اگر سری توانی \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} \) دارای شعاع همگرایی \(r > 0\) باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {n{a_n}} {x^{n – 1}}\)، که حاصل از مشتق گیری جمله به جمله از سری مذکور است، برابر \(r\) است.

اگر چه قضیه مشتق‌گیری بیان می‌کند که مشتق اول سری توانی \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} \) با شعاع همگرایی غیرصفر وجود دارد اما، چون سری مشتق شده خود یک سری توانی با همان شعاع همگرایی است، از این سری نیز می‌توان مشتق گرفت. در نتیجه سری داده شده دو بار مشتق‌پذیر است. با تکرار این روند، نتیجه می‌گیریم که همه مشتق های یک سری توانی با شعاع همگرایی \(\left| r \right| \ge 0\) در بازه \(\left( { – r, + r} \right)\) وجود دارند.

قضیه: اگر سری توانی در فاصله \(\left( { – r, + r} \right)\) همگرا باشد، آنگاه مجموع آن سری، نمایشگر تابعی است که در فاصله همگرایی دارای مشتق های تا مرتبه \(n\) ام است، و هر یک از مرتبه‌های مشتق مثلاً مشتق مرتبه \(n\) ام مجموع سری، برابر مجموع یک سری است که با \(n\) بار مشتق‌گیری جمله به جمله از سری مفروض بدست می آید. علاوه بر این، فاصله همگرایی هر سری حاصل از مشتق‌گیری، همان فاصله همگرایی سری مفروض، یعنی \(\left( { – r, + r} \right)\) است.

قضیه انتگرال گیری سری توانی

اگر شعاع همگرایی سری توانی \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} \)، \(r > 0\) باشد آنگاه شعاع همگرایی سری \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{n + 1}}} {x^{n + 1}} + c\)، که حاصل از انتگرا گیری جمله به جمله از سری مذکور است، برابر با \(r\) است.

آزمون‌های تعیین همگرایی و واگرایی سری‌ها

1- آزمون مقایسه حد

این آزمون بیان می‌کند که اگر \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) و \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) دو سری با جملات مثبت باشند آنگاه اگر \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\) موجود و مخالف صفر باشد دوسری از نظر همگرایی و واگرایی شبیه یکدیگر هستند یعنی هر دو یا واگرا یا همگرا هستند.

2- آزمون مقایسه (Compare test)

آزمون مقایسه از جمله آزمون‌هایی است که برای تعیین وضعیت همگرایی و واگرایی سری‌ها با جملات حقیقی و مختلط استفاده می‌‌شود. اساس کار این آزمون بر پایه مقایسه جملات سری مورد بحث با جملات یک سری است که از وضعیت همگرایی آن اطلاع داریم. پس برای انجام این آزمون نیاز به در نظر گرفتن یک سری دیگر که از وضعیت همگرای آن اطلاع داریم، می باشد. این آزمون به دوصورت انجام می گیرد که به شرح آنها می پردازیم:

الف) آزمون مقایسه نوع اول: این آزمون بیان می‌کند که اگر \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) یک سری همگرا باشد و عدد حقیقی \(c\) (غیر وابسته به عدد طبیعی \(n\)) چنان موجود باشد که \(\left| {{a_n}} \right| \le c\left| {{b_n}} \right|\) آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) هم همگراست. هم‌چنین اگر \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) یک سری واگرا باشد و \(\left| {{a_n}} \right| \ge c\left| {{b_n}} \right|\) آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) یک سری واگراست.

به طور خلاصه، اگر دوسری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) و \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) داشته باشیم به قسمی که \(\left| {{a_n}} \right| \le \left| {{b_n}} \right|\) آنگاه:

۱- اگر سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) همگرا باشد آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) نیز همگراست.

۲- اگر سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) واگرا باشد آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) نیز واگراست.

ب) آزمون مقایسه نوع دوم: این آزمون بیان می‌کند که اگر \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) یک سری همگرا باشد و عدد حقیقی \(c\) (غیر وابسته به عدد طبیعی \(n\)) چنان موجود باشد که \(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| \ge c\left| {\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}}} \right|\) آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) هم همگراست. هم‌چنین اگر \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) یک سری واگرا باشد و \(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| \le c\left| {\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}}} \right|\) آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) یک سری واگراست.

به طور خلاصه، اگر دوسری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) و \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) داشته باشیم به قسمی که \(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| \le \left| {\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}}} \right|\) آنگاه:

۱- اگر سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) همگرا باشد آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) نیز همگراست.

۲- اگر سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) واگرا باشد آنگاه سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \) نیز واگراست.

3- آزمون نسبت یا قاعده دالامبر( The rule of Dalmeber- Ratio Test)

آزمون نسبت معیاری است برای تعیین وضعیت همگرایی یا واگرایی سری‌هایی با جملات حقیقی یا مختلط است. این آزمون نخستین بار توسط دالامبر(Jean le Rond d’Alembert) مطرح گردید و به همین دلیل به آن آزمون نسبت دالامبر یا به اختصار آزمون دالامبر می‌گویند، هم‌چنین این آزمون گاهی با عنوان آزمون نسبت کوشی هم گفته می‌شود.

اگر \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) یک سری باشد و نیز داشته باشیم \(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\) آنگاه:

۱- اگر\(L < 1\) باشد، آنگاه سری همگراست.

۲- اگر \(L > 1\) باشد، آنگاه سری واگراست.

۳- اگر \(L = 1\) باشد، آنگاه آزمون بی نتیجه است و برای تشخیص وضعیت همگرایی باید از سایر آزمون ها استفاده نمود.

The ratio test

4- آزمون ریشه (Root test)

برای تعیین وضعیت همگرایی سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \)، ابتدا حد \(\mathop {L = \lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left| {{a_n}} \right|^{\frac{1}{n}}}\) را محاسبه می‌کنیم. با توجه به مقداری که برای \(L\) بدست خواهد آمد نتایج زیر را می‌توان گرفت:

۱- اگر\(L < 1\) باشد، آنگاه سری همگرای مطلق است.

۲- اگر \(L > 1\) باشد، آنگاه سری واگرا است.

۳- اگر \(L = 1\) باشد، آنگاه سری می‌تواند همگرای مطلق، همگرای مشروط یا واگرا باشد.

The root test

5- آزمون انتگرال (Integral test)

آزمون انتگرال از جمله آزمون‌های همگرایی سری‌ها است که برای سری‌هایی با جملات نامنفی کاربرد دارد. این آزمون برای اولین بار در قرن چهاردهم توسط مدهاوا (Madhava) ریاضیدان هندی مطرح شد و بعدها توسط ریاضیدانان اروپایی چون کوشی و مک لورن گسترش پیدا کرد و به همین دلیل گاهی به عنوان آزمون کوشی-مک لورن یا آزمون انتگرال کوشی یا آزمون انتگرال مک لورن، نیز نامیده می‌شود.

اگر \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) یک سری نا‌متناهی باشد و تابع \(f\left( x \right)\) تابعی نزولی و پیوسته در بازه \(\left[ {1,\infty } \right)\) باشد به گونه‌ای که \(f\left( n \right) = {a_n}\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0\) آنگاه ؛ سری \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) و \(\int\limits_t^\infty {f\left( x \right)dx} ,1 \le t < \infty \) هر دو از نظر همگرایی مانند هم هستند.