در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با مفهوم مشتق و روش‌های محاسبه آن آشنا شدیم. در این آموزش چند نمونه سوال مشتق را بررسی می‌کنیم. این مثال‌های متنوع طوری انتخاب شده‌اند که روش حل مسئله را بیاموزید و بهترین راه‌حل را انتخاب کنید. علاوه بر این، برای تسلط بیشتر بر مفاهیم و روش‌های مختلف مشتق‌گیری توابع مختلف، پیشنهاد می‌کنیم در صورت لزوم، آموزش‌های زیر را مطالعه کنید:
- مشتق زنجیره ای — به زبان ساده
- مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد
- مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد
- مشتق لگاریتم و تابع نمایی — از صفر تا صد
- مشتق توابع معکوس مثلثاتی — به زبان ساده
- مشتق توابع معکوس — از صفر تا صد
- مشتق ضمنی — به زبان ساده
فرمول‌ها و قواعد مقدماتی مشتق‌گیری
فرمول‌های زیادی برای محاسبه مشتق وجود دارد. البته با چند فرمول ساده و مقدماتی می‌توان اغلب مشتق‌های دشوار را نیز حل کرد. این مشتق‌های مقدماتی به شرح زیر هستند و در حل مسائل مربوط به مشتق می‌توانید از آن‌ها استفاده کنید:
$$ \large \begin {aligned}
& \left [ x ^ { a } \right ] ^ { \prime } = a \cdot x ^ { a – 1 } , x \in \mathbb { R } \text { for } a \in I N , x \in \mathbb { R } – \{ 0 \} \text { for } a \in \mathbb { Z } \\
& x \in \mathbb { R } ^ { + } \text {for } a \in \mathbb { R } \\
& \left [ e ^ { x } \right ] ^ { \prime } = e ^ { x } , x \in \mathbb { R } \\
& \left [ a ^ { x } \right ] ^ { \prime } = \ln ( a ) a ^ { x } , x \in \mathbb { R } \\
& [ \ln ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } , x > 0 \\
& \left [ \log _ { a } ( x ) \right ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \ln ( a ) } \frac { 1 } { x } , x > 0 \\
& [ \sin ( x ) ] ^ { \prime } = \cos ( x ) , x \in \mathbb { R } \\
& [ \cos ( x ) ] ^ { \prime } = – \sin ( x ) , x \in I R \\
& [ \tan ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1} { \cos ^ { 2 } ( x ) } , x \neq \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\
& [ \cot ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { – 1 } { \sin ^ { 2 } ( x ) } , x \neq k \pi \\
& [ \arcsin ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 1- x^ { 2 } } } , x \in ( – 1 , 1 ) \\
& [ \arccos ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { – 1 } { \sqrt { 1 -x ^ { 2 } } } , x \in ( – 1 , 1 ) \\
& [ \arctan ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } , x \in \mathbb { R } \\
& [ \operatorname {arccot} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { – 1 } { x ^ { 2 } + 1} , x \in \mathbb { R } \\
& [ \sinh ( x ) ] ^ { \prime } = \cosh ( x ) , x \in \mathbb { R } \\
& [ \cosh ( x ) ] ^ { \prime } = \sinh ( x ) , x \in \mathbb { R } \\
& [ \tanh ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \cosh ^ { 2 } ( x) } , x \in \mathbb { R } \\
& [ \operatorname {coth} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { – 1 }{ \sinh ^ { 2 } ( x ) } , x \neq 0 \\
& [ \arg \sinh ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } , x \in \mathbb { R } \\
& [ \arg \cosh ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 }{ \sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } , x \in ( 1 , \infty ) \\
& [ \operatorname {argtanh} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 – x ^ { 2 } } , x \in ( – 1 , 1 ) \\
& [ \operatorname {argcoth} ( x ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 – x ^ { 2 } } , x \in ( – \infty , – 1 ) \cup ( 1 , \infty )
\end {aligned} $$
قواعد مشتق‌گیری نیز برای دو تابع $$ f $$ و $$ g $$ به شرح زیر هستند:
$$ \large \begin {aligned}
& [ f + g ] ^ { \prime } = f ^ { \prime } + g ^ { \prime } \\
& [ f – g ] ^ { \prime } = f ^ { \prime } – g ^ { \prime } \\
& [ f g ] ^ { \prime } = f ^ { \prime } g + f g ^ { \prime } \\
& \left [ \frac { f } { g } \right ] ^ { \prime } = \frac { f ^ { \prime } g – f g ^ { \prime } } { g ^ { 2 } } \\
& [ g ( f ) ] ^ { \prime } = g ^ { \prime } ( f ) \cdot f ^ { \prime }
\end {aligned} $$
علاوه بر این، برای دسترسی به فهرست کامل مشتق توابع پرکاربرد می‌توانید «تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول های مشتق گیری» را دانلود کنید.
نمونه سوال مشتق
در این بخش، چند نمونه سوال مربوط به مبحث مشتق را حل می‌کنیم.
مثال ۱
مشتق مرتبه سوم تابع زیر را حساب کنید.
$$ \large f ( x ) = x ^ 2 \ln ( x + 1 ) $$
حل مثال ۱: مشتق مرتبه اول را با استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:
$$ \large f’ ( x ) = [ x ^ 2 ]’ \cdot \ln ( x + 1 ) + x ^ 2 \cdot [ \ln ( x + 1 ) ]’ $$
عبارت اول مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } \cdot \ln ( x + 1 ) + x ^ { 2 } \cdot [ \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime } $$
و با محاسبه مشتق عبارت دوم، حاصل مشتق اول برابر است با:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = 2 x ^ { 1 } \ln ( x + 1 ) + x ^ { 2 } \frac { 1 } { x + 1 } \cdot 1 = 2 x \ln ( x + 1 ) + \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } $$
اکنون باید مشتق دوم را حساب کنیم:
$$ \large f ^ { \prime \prime } ( x ) = [ 2 x \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime } + \left [ \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } \right ] ^ { \prime } $$
مشتق جمله اول از قاعده ضرب پیروی می‌کند و مشتق دوم از قاعده مشتق برای تقسیم. بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large f ^ { \prime \prime } ( x ) = \left ( [ 2 x ] ^ { \prime} \ln ( x + 1 ) + 2 x [ \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime } \right ) + \frac { \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } ( x + 1 ) – x ^{ 2 } [ x + 1 ] ^ { \prime }} { ( x + 1 ) ^ { 2 } } $$
که حاصل آن برابر است با:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime \prime } ( x ) & = 2 \cdot \ln ( x + 1 ) + 2 x \frac { 1 } { x + 1 } \cdot 1 + \frac { 2 x \cdot ( x + 1 ) – x ^ { 2 } \cdot 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \\
& = 2 \ln ( x + 1 ) + \frac { 2 x } { x + 1 } + \frac { x ^ {2 } +2 x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }
\end {aligned} $$
با مشتق گرفتن از مشتق مرتبه دوم، مشتق مرتبه سوم را محاسبه می‌کنیم:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) = [ 2 & \ln ( x + 1 ) ] ^ { \prime } + \frac { [ 2 x ] ^ { \prime } ( x + 1 ) – 2 x [ x + 1 ] ^ { \prime } } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \\
& + \frac { \left [ x ^ {2 } + 2 x \right ] ^ { \prime } ( x + 1 ) ^ { 2 } – \left ( x ^ { 2 } + 2 x \right ) \left [ ( x + 1 ) ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } } { ( x + 1 ) ^ { 4 } }
\end {aligned} $$
که حاصل آن به صورت زیر است:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) = & 2 \frac { 1 } { x + 1 } \cdot 1 + \frac { 2 \cdot ( x + 1 ) – 2 x \cdot 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } \\
& + \frac { \left ( \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } +2 [ x ] ^ { \prime } \right ) ( x + 1 ) ^ { 2 } – \left ( x ^ { 2 } + 2 x \right ) 2 ( x + 1 ) [ x + 1 ] ^ { \prime } } { ( x + 1 ) ^ { 4 } } \\
= & \frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { ( 2 x + 2 ) ( x + 1 ) ^ { 2 } – \left ( x ^ { 2} + 2 x \right ) 2 ( x + 1 ) \cdot 1 } {( x + 1 ) ^ { 4 } } \\
= & \frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2} } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } } , \quad x > – 1
\end {aligned} $$
باید توجه داشته باشیم که دامنه مشتق را نیز بنویسیم ($$ x > – 1 $$). برای حل این مثال می‌توانستیم از فرمول زیر نیز کمک بگیریم.
$$ \large [ \ln ( y ) ] ^ { \prime } = ( 1 / y ) \cdot [ y ] ^ { \prime } , \quad \left [ y ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } =2 y \cdot [ y ] ^ { \prime } $$
مثال ۲
مشتق تابع زیر را به دست آورید.
$$ \large f ( x ) = \sqrt { e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) } $$
حل مثال ۲: یک تابع رادیکالی داریم. همان‌طور که می‌دانیم، مشتق تابع رادیکالی به صورت زیر محاسبه می‌شود:
$$ \large [ \sqrt { y } ] ^ { \prime } = \left [ y ^ { \frac { 1 }{ 2 } } \right ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } y ^ { \frac { 1 }{ 2 } -1 } = \frac { 1 } { 2 } y ^ { – \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { y } } $$
از این فرمول کمک می‌گیریم و داریم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) } } \cdot \left [ e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right ] ^ { \prime } $$
برای ساده‌نویسی، کسر اول را با نماد لوزی ($$\diamond$$) نشان داده و مشتق جمله دوم را محاسبه می‌کنیم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( \left [ e ^ { 2 x } \right ] ^ { \prime } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) + e ^ { 2 x } \left [ 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^{ x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ] ^ { \prime } \right ) $$
بنابراین داریم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( e ^ { 2 x } [ 2 x ] ^ { \prime } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) + e ^ { 2 x } \left ( [ 5 ] ^ { \prime } + 3 \left [ x ^ { 4 } \right ] ^ { \prime } + \left [ \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ] ^ { \prime } \right ) \right ) $$
با اعمال مشتق موجود در عبارت بالا، خواهیم داشت:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot ( & e ^ { 2 x } \cdot 2 \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \\
& \left . + e ^ { 2 x } \left ( 0 + 3 \cdot 4 x ^ { 4 – 1 } + \frac { \left [ \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) \right ] ^ { \prime } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) – \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) \left [ x ^ { 2 } + 1 \right ] ^ { \prime } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right )
\end {aligned} $$
سایر مشتق‌های باقیمانده نیز به صورت زیر حساب می‌شوند:
$$ \large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = \diamond \cdot \left ( 2 e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) }{ x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right . \\ & \;\;\;\;\;\;
\left . + e ^ { 2 x } \left ( 1 2 x ^ { 3 }+ \frac { – \sin \left ( 2 ^ { x } \right ) \left [ 2 ^ { x } \right ] ^ { \prime } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) – \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) ( 2 x + 0 ) } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right )
\end {aligned} $$
و در نهایت جواب مسئله برابر است با:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) & = \diamond \cdot \left ( 2 e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right . \\
& \; \; \; \; \; \; \left . + e ^ { 2 x } \left ( 1 2 x ^ { 3 } + \frac { – \sin \left ( 2 ^ { x } \right ) \ln ( 2 ) 2 ^ { x } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) – \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) 2 x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right )
\end {aligned} $$
$$
اکنون کافی است مقدار لوزی را در عبارت بالا قرار داده و دامنه مشتق را به دست آوریم. از داخلی‌ترین توابع شروع کرده و دامنه مشتق را بررسی می‌کنیم. مخرج کسر همواره کوچک‌تر از ۱ است و از این نظر مشکلی وجود ندارد. سینوس و کسینوس $$ 2 ^ x $$ نیز به ازای همه مقادیر $$ x $$ تعریف شده‌اند. تنها چیزی که مسئله بر انگیز است، عبارت زیر رادیکال است که باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد:
$$ \large 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \geq 5 + 3 x ^ { 4 } – \left | \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right | \geq 5 + 0 – 1 = 4 > 0 $$
همان‌طور که می‌بینیم عبارت زیر رادیکال همواره مثبت است و دامنه مشتق همه اعداد حقیقی است. بنابراین، جواب نهایی را به شکل زیر می‌نویسیم:
$$ \large \begin {array} { c }
f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) } } \cdot \left ( 2 e ^ { 2 x } \left ( 5 + 3 x ^ { 4 } + \frac { \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \right . \\
\left . + e ^ { 2 x } \left ( 1 2 x ^ { 3 } – \frac { \ln ( 2 ) \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) \sin \left ( 2 ^ { x } \right ) 2 ^ { x } + 2 x \cos \left ( 2 ^ { x } \right ) } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ) \right ) , x \in R
\end {array} $$
توجه کنید که اگر فراموش کرده‌اید مشتق $$ 2 ^ x $$ را محاسبه کنید، می‌توانید از فرمول زیر کمک بگیرید:
$$ \large \left [ 2 ^ { x } \right ] ^ { \prime } = \left [ e ^ { x \ln ( 2 ) } \right ] ^ { \prime } = e ^ { x \ln ( 2 ) } [ x \ln ( 2 ) ] ^ { \prime } = 2 ^ { x } \cdot \ln ( 2 ) $$
مثال ۳
مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.
$$ \large f ( x ) = \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) ^ { \arcsin ( x ) } $$
حل مثال ۳: ابتدا تابع را به فرم کانونیکال زیر می‌نویسیم:
$$ \large f ( x ) = e ^ { \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) } $$
این تابع یک تابعی ترکیبی به فرم $$ e ^ y $$ است و مشتق آن به صورت زیر به دست می‌آید:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) & = e ^ { \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) } \cdot \left [ \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) \right ] ^ { \prime } \\
& = \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) ^ { \arcsin ( x ) } \cdot \left [ \arcsin ( x ) \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) \right ] ^ { \prime }
\end {aligned} $$
با در نظر گرفتن بخشی از عبارت محاسبه شده بالا به صورت لوزی، از بخش دیگر مشتق می‌گیریم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( [ \arcsin ( x ) ] ^ { \prime } \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \left [ \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) \right ] ^ { \prime } \right ) $$
اکنون باید مشتق $$\ln $$ را حساب کنیم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( \frac { 1 }{ \sqrt { 1 – x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \frac { 1 } { \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } } \left [ \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ] ^ { \prime } \right ) $$
مشتق کسر نیز به شکل زیر نوشته می‌شود:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) = \diamond \cdot \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 – x ^ { 2 } } } \right . & \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \frac { 3 x ^ { 2 } – 6 } { 1 – \pi e ^ { x } } \times \\
& \left . \times \frac { \left [ 1 – \pi e ^ { x } \right ] ^ { \prime } \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) – \left ( 1 – \pi e ^ { x } \right ) \left [ 3 x ^ { 2 } – 6 \right ] ^ { \prime } } { \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) ^ { 2 } } \right )
\end {aligned} $$
و درنهایت، مشتق به صورت زیر خواهد بود:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) = & \diamond \cdot \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 – x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \times \right . \\
& \quad \times \left . \frac { \left ( [ 1 ] ^ { \prime } – \pi \left [ e ^ { x } \right ] ^ { \prime } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) – \left ( \pi e ^ { x } – 1 \right ) \left ( 3 \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } – [ 6 ] ^ { \prime } \right ) } { \left ( 1 – \pi e ^ { x } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) } \right ) \\
= & \diamond \cdot \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 – x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) + \arcsin ( x ) \times \right . & \\
& \quad \left . \times \frac { – \pi e ^ { x } \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) – \left ( 1 – \pi e ^ { x } \right ) 3 \cdot 2 x }{ \left ( 1 – \pi e ^ { x } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) } \right ) \\
= & \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) ^ { \arcsin ( x ) } \left ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 -x ^ { 2 } } } \ln \left ( \frac { 1 – \pi e ^ { x } } { 3 x ^ { 2 } – 6 } \right ) – \arcsin ( x ) \times \right . & \\
& \quad \left . \times \frac { \pi e ^ { x } \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) + 6 x \left ( 1 – \pi e ^ { x } \right ) } { \left ( 1 – \pi e ^ { x } \right ) \left ( 3 x ^ { 2 } – 6 \right ) } \right ) \end {aligned} $$
اکنون باید دامنه مشتق را بیابیم. از تابع اصلی شروع می‌کنیم. دامنه $$ \arcsin ( x ) $$ بازه $$ [ – 1 , 1 ] $$ است. از آنجایی که مخرج کسر آرگومان $$ \ln $$ منفی است، صورت آن نیز باید منفی باشد:
$$ \large 1 – \pi e ^ x < 0 \Rightarrow x > \ln ( 1 / \pi ) = – \ln ( { \pi } ) $$
از آنجا که $$\ln ( \pi ) > 1$$ است، دامنه $$ f $$ بازه $$ [-1 , 1 ] $$ بوده و دامنه $$ f’ $$ بازه باز $$ ( – 1 , 1 ) $$ است.
مثال ۴
حاصل مشتق زیر را به دست آورید.
$$ \large f ( x ) = \arcsin \left ( \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) $$
حل مثال ۴: طبق فرمول‌های مشتق‌گیری، داریم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 -\left ( \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) ^ { 2 } } } \left [ \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \right ] ^ { \prime } $$
اکنون باید از کسر مشتق بگیریم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 – \frac { 4 x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 }} } } \frac { [ 2 x ] ^ { \prime } \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) – 2 x \left [ x ^ { 2 } + 1 \right ] ^ { \prime } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } $$
و با اعمال مشتق‌های باقیمانده، خواهیم داشت:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } (x ) & = \frac { 1 }{ \sqrt { \frac { \left ( x^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } – 4 x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } } } \frac { 2 \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) – 2 x \cdot 2 x } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \\
& = \sqrt { \frac { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } }{ x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } + 1 – 4 x ^ { 2 } } } \frac { 2 – 2 x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } = 2 \frac { \sqrt { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \left ( x ^ { 2 } – 1 \right ) ^ { 2 } } } \frac { 1 – x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } }
\end {aligned} $$
اکنون باید دامنه مشتق را محاسبه کنیم. برای این منظور، ابتدا دامنه تابع اصلی را به دست می‌آوریم و آرگومان آرک سینوس باید در بازه $$ [-1 , 1 ] $$ باشد:
$$ \large \begin {array} { c c }
– 1 \leq \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } & \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \leq 1 \\
– \left( x ^ { 2 } + 1 \right ) \leq 2 x & 2 x \leq x ^ { 2 } + 1 \\
0 \leq x ^ { 2 } + 2 x + 1 & 0 \leq x ^ { 2 } – 2 x + 1 \\
0 \leq ( x + 1 ) ^ { 2 } & 0 \leq ( x – 1 ) ^ { 2 }
\end {array} $$
در نتیجه، دامنه تابع اصلی، کل اعداد حقیقی است. اما در مورد مشتق تابع چه چیزی می‌توان گفت؟ مشتق را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) & = 2 \frac { \left | x^ { 2 } + 1 \right | } { \left | x ^ { 2 } – 1 \right | } \frac { 1 – x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } = \left \{ \begin {array}{ c l }
2 \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } – 1 } \frac { 1 – x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } , & x < – 1 \\
2 \frac { x ^ { 2 } + 1 } { – \left ( x ^ { 2 } – 1 \right ) } \frac { 1 – x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } , & – 1 < x < 1 \\
2 \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } – 1 } \frac { 1 – x ^ { 2 } } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } , & x > 1
\end {array} \right . \\
& = \left \{ \begin {array} { l l }
\frac { – 2 } { x ^ { 2 } + 1 } , & x < – 1 \\
\frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } , & – 1 < x < 1 \\
\frac { – 2 } { x ^ { 2 } + 1 } , & x > 1
\end {array} \right .
\end {aligned} $$
مشتق‌های یک‌طرفه در $$ x = – 1 $$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:
$$ \large \begin {aligned}
f _ { – } ^ { \prime } ( – 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow ( – 1 ) ^ { – } } \left ( f ^ { \prime }( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow ( – 1 ) ^ { – } \Longrightarrow x < – 1 \right \rangle \right \rangle \\
& = \lim _ { x \rightarrow ( – 1 ) ^ { – } } \left ( \frac { – 2 }{ x ^ { 2 } + 1 } \right ) = – 1 \\
f _ { + } ^ { \prime } ( – 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow ( – 1 ) ^ { + } } \left ( f ^ { \prime }( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow ( – 1 ) ^ { + } \Longrightarrow x \in ( – 1 , 1 ) \right \rangle \right ) \\
& = \lim _ { x \rightarrow ( – 1 ) ^ { + } } \left ( \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) = 1
\end {aligned} $$
می‌بینیم که حد چپ و راست در $$ x =-1 $$ برابر نیستند. برای نقطه $$ x = 1 $$ نیز داریم:
$$ \large \begin {aligned}
& f _ { – } ^ { \prime } ( 1 ) = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { – } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { – } \Longrightarrow x \in ( – 1 , 1 ) \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { – } } \left ( \frac{ 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) = 1 \\
& f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { + } \Longrightarrow x > 1 \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { – 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) = – 1
\end {aligned} $$
مشاهده می‌کنیم که حد چپ و راست در $$ x = 1 $$ نیز برابر نیستند. بنابراین، دامنه مشتق، برابر با کل مجموعه اعداد حقیقی به جز $$ x = – 1 $$ و $$ x = 1 $$ است.
مثال ۵
مشتق تابع چندضابطه‌ای زیر را به دست آورید.
$$ \large f ( x ) = \left \{ \begin {array} { c l }
\cos ( x ) , & x \in ( – \infty , – \pi ] \\
\sin ( x ) , & x \in ( – \pi , 0 ] \\
x , & x \in ( 0 , 1 ] \\
\frac { 1 } { \sqrt { 2 – x } } , & x \in ( 1 , 2 ) \\
\ln ( x ) , & x \in [ 2 , \infty )
\end {array} \right . $$
حل مثال ۵: مشتق سه ضابطه تابع به راحتی به دست می‌آید. مشتق ضابطه سوم به صورت زیر محاسبه می‌شود.
$$ \large \begin {aligned}
\left [ \frac { 1 } { \sqrt { 2 – x } } \right ] ^ { \prime } & = \left [ ( 2 – x ) ^ { – 1 / 2 } \right ] ^ { \prime } = \left ( – \frac { 1 } { 2 } \right ) ( 2 – x ) ^ { – 3 / 2 } \cdot [ 2 -x ] ^ { \prime } \\
& = \left ( – \frac { 1 } { 2 } \right ) \frac { 1 } { ( 2 – x ) ^ { 3 / 2 } } \cdot ( – 1 ) = \frac { 1 } { 2 ( \sqrt { 2 – x } ) ^ { 3 } }
\end {aligned} $$
بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned}
– \sin ( x ) , \quad x \in ( – \infty , – \pi ) \\
\cos ( x ) , \quad \quad\quad x \in ( – \pi , 0 ) \\
1 , \quad \quad\quad\quad\quad\quad x \in ( 0 , 1 ) \\
\frac { 1 } { 2 ( \sqrt { 2 – x } ) ^ { 3 } } , \quad x \in ( 1 , 2 ) \\ \frac { 1 } { x } , \quad \quad \quad \quad x \in ( 2 , \infty )
\end {aligned} \right . $$
اکنون باید نقاط مرز ضابطه‌ها را برای دامنه مشتق بررسی کنیم. در نقطه $$ x = – \pi $$ تابع ناپیوسته است و به همین دلیل مشتق در آنجا تعریف نشده است. تابع در $$ x = 0 $$ پیوسته است. مشتق چپ و راست در $$ x = 1 $$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:
$$ \large \begin {aligned}
f _ { – } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { – } } \left ( f ^ { \prime }( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { – } \Longrightarrow x \in ( -\pi , 0 ) \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { – } } ( \cos ( x ) ) = 1 \\
f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { + } \Longrightarrow x \in ( 0 , 1 ) \right \rangle \right \rangle = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } ( 1 ) = 1
\end {aligned} $$
بنابراین، $$ x = 0 $$ در دامنه مشتق قرار دارد.
در $$ x = 1 $$ نیز تابع پیوسته است و مشتق‌های چپ و راست در این نقطه به صورت زیر هستند:
$$ \large \begin {aligned}
f _ { – } ^ { \prime } ( 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { – } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { – } \Longrightarrow x \in ( 0 , 1 ) \right \rangle \right ) = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { – } } ( 1 ) = 1 \\
f _ { + } ^ { \prime } ( 1 ) & = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 1 ^ { + } \Longrightarrow x \in ( 1 , 2 ) \right \rangle \right \rangle \\
& = \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { 1 }{ 2 ( \sqrt { 2 – x } ) ^ { 3 } } \right ) = \frac { 1 } { 2 }
\end {aligned} $$
می‌بینیم که دو مشتق برابر نبوده و به همین دلیل، این نقطه در دامنه مشتق نیست.
در نهایت، مشتق را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned}
– \sin ( x ) , & \quad x \in ( – \infty , – \pi ) \\
\cos ( x ) , & \quad x \in ( – \pi , 0 ] \\
1 , & \quad x \in [ 0 , 1 ) \\
\frac { 1 } { 2 ( \sqrt { 2 – x } ) ^ { 3 } } , & \quad x \in ( 1 , 2 ) \\
\frac { 1 } { x } , & \quad x \in ( 2 , \infty )
\end {aligned} \right . $$
مثال ۶
مشتق تابع زیر را به دست آورید.
$$ \large f ( x ) = \cos \left ( | x – \pi | ^ { 5 } \right ) + e ^ { | x | } $$
حل مثال ۶: با توجه به قدر مطلق‌های موجود، تابع به فرم سه ضابطه‌ای زیر نوشته می‌شود:
$$ \large f ( x ) = \left \{ \begin {array} { c l }
\cos \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { – x } , & x \leq 0 \\
\cos \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & 0 \leq x \leq \pi \\
\cos \left ( ( x – \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & x \geq \pi
\end {array} \right .$$
مشتق ضابطه اول به شکل زیر محاسبه می‌شود:
$$ \large \left [ \cos \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { -x } \right ] ^ { \prime } = – \sin \left ( ( \pi -x ) ^ { 5 } \right ) \left [ ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ] ^ { \prime } + e ^ { – x } [ -x ] ^ { \prime } $$
با اعمال مشتق باقیمانده داخل آن نیز داریم:
$$ \large \left [ \cos \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { – x } \right ] ^ { \prime } = – \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) 5 ( \pi – x ) ^ { 4 } [ \pi – x ] ^ { \prime } + e ^ { – x } \cdot ( – 1 ) $$
که منجر به نتیجه زیر می‌شود:
$$ \large \left [ \cos \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } \right ] ^ { \prime } = – \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) 5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \cdot ( – 1 ) – e ^ { – x } $$
به طور مشابه، مشتق دو ضابطه دیگر را محاسبه کرده و در نهایت خواهیم داشت:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned}
5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) – e ^ { – x } , \quad & \quad \quad x < 0 \\
5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , \quad & 0 < x < \pi \\
– 5 ( x – \pi ) ^ { 4 } \sin \left ( ( x – \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , \quad & \quad \quad x > \pi
\end {aligned} \right . $$
اکنون باید بررسی کنیم که در نقاط شکست چه اتفاقی رخ می‌دهد. بدین منظور، ابتدا مشتق چپ و راست را در $$ x = 0 $$ محاسبه می‌کنیم:
$$ \large \begin {aligned}
f _ { – } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { – } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { – } \Longrightarrow x < 0 \right \rangle \right \rangle \\
& = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { – } } \left ( 5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) – e ^ { – x } \right ) = 5 \pi ^ { 4 } \sin \left ( \pi ^ { 5 } \right ) – 1 \\
f _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) & = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow 0 ^ { + } \Longrightarrow x \in (0 , \pi ) \right \rangle \right \rangle \\
& = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \left ( 5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } \right ) = 5 \pi ^ { 4 } \sin \left ( \pi ^ { 5 } \right ) + 1
\end {aligned} $$
همان‌طور که می‌بینیم، این دو مشتق برابر نیستند و در نتیجه، در $$ x = 0 $$ مشتق نداریم.
به طور مشابه در نقطه $$ x = \pi $$ داریم:
$$ \large \begin {aligned}
f _ { – } ^ { \prime } ( \pi ) & = \lim _ { x \rightarrow \pi ^ { – } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow \pi ^ { – } \Longrightarrow x \in ( 0 , \pi ) \right \rangle \right \rangle \\
& = \lim _ { x \rightarrow \pi ^ { – } } \left ( 5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right) + e ^ { x } \right ) = e ^ { \pi } \\
f _ { + } ^ { \prime } ( \pi ) & = \lim _ { x \rightarrow \pi ^ { + } } \left ( f ^ { \prime } ( x ) \right ) = \left \langle \left \langle x \rightarrow \pi ^ { + } \Longrightarrow x > \pi \right \rangle \right \rangle \\
& =\lim _ { x \rightarrow \pi ^ { + } } \left ( – 5 ( x – \pi ) ^ { 4 } \sin \left ( ( x – \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } \right ) = e ^ { \pi }
\end {aligned} $$
و بنابراین، در $$ x = \pi $$ مشتق وجود دارد. در نتیجه، فرم نهایی مشتق تابع به صورت زیر خواهد بود:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \left \{ \begin {aligned}
5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) – e ^ { – x } , & x < 0 \\
5 ( \pi – x ) ^ { 4 } \sin \left ( ( \pi – x ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & 0 < x \leq \pi \\
– 5 ( x – \pi ) ^ { 4 } \sin \left ( ( x – \pi ) ^ { 5 } \right ) + e ^ { x } , & x \geq \pi
\end {aligned} \right . $$
مثال ۷
مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.
$$ \large f ( x) = \ln ( { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) }) $$
که در آن، $$ p $$ و $$ q $$ اعداد ثابتی هستند.
حل مثال ۷: با توجه به اینکه مشتق $$ \ln ( y) $$ برابر با $$ y’/y$$ است، داریم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left [ x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) \right ] ^ { \prime } $$
اکنون باید مشتق عبارتی را که دارای ضرب است حساب کنیم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( \left [ x ^ { p } \right ] ^ { \prime } \cosh ( q x + 1 3 ) + x ^ { p } [ \cosh ( q x + 1 3 ) ] ^ { \prime } \right ) $$
و در نهایت، با محاسبه همه مشتق‌ها به عبارت زیر می‌رسیم:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) & = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( p x ^ { p – 1 } \cosh ( q x + 1 3 ) + x ^ { p } \sinh ( q x + 1 3 ) \cdot [ q x + 1 3 ] ^ { \prime } \right ) \\
& = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( p x ^ { p – 1 } \cosh ( q x + 1 3 ) + x ^ { p } \sinh ( q x + 1 3 ) \cdot q \right )
\end {aligned} $$
اکنون باید دامنه مشتق را حساب کنیم. برای این کار، دامنه تابع اصلی را مورد بررسی قرار می‌دهیم. همان‌طور که می‌دانیم، آرگومان لگاریتم باید مثبت باشد. مقدار کسینوس هیپربولیک حداقل ۱ است و از این نظر مشکلی وجود ندارد. اما در عبارت $$ x ^ p $$، از آنجا که مقدار پارامتر $$ p$$ را نمی‌دانیم، باید $$ x > 0 $$ باشد. بنابراین، دامنه مشتق $$ x > 0 $$ است و در نهایت، مشتق تابع به صورت زیر نوشته می‌شود:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { p } \cosh ( q x + 1 3 ) } \left ( p x ^ { p – 1 } \cosh ( q x + 1 3 ) + q x ^ { p } \sinh ( q x + 1 3 ) \right ) ; \quad x > 0 $$
مثال ۸
مشتق تابع زیر را به دست آورید.
$$ \large f ( x ) = \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } $$
حل مثال ۸: از قاعده مشتق ضرب دو تابع استفاده می‌کنیم:
$$ \large f ^ { \prime } ( x ) = \left [ \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ] ^ { \prime } \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \left [ \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } }{ \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \right ] ^ { \prime } $$
مشتق‌ها را اعمال کرده و برای جمله دوم از قاعده مشتق تقسیم دو تابع کمک می‌گیریم:
$$ \large \begin {array} { c }
f ^ { \prime } ( x ) = \left ( [ \ln ( x ) ] ^ { \prime } + \left [ e ^ { \sin ( x ) } \right ] ^ { \prime } + \left [ \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ] ^ { \prime } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \times \\
\times \frac { \left [ 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ] ^ { \prime } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } – \left ( 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ) [ \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } ] ^ { \prime } } { ( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } }
\end {array} $$
با انجام تعداد دیگری از مشتق‌گیری‌ها، داریم:
$$ \large \begin {array} { c }
f ^ { \prime } ( x ) = \left ( \frac { 1 } { x } + e ^ { \sin ( x ) } [ \sin ( x ) ] ^ { \prime } + \left [ x ^ { – 3 } \right ] ^ { \prime } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } }{ \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \times \\
\times \frac { \left ( 1 3 \left [ x ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } + \left [ 2 ^ { x } \right ] ^ { \prime } \right ) \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } – \left ( 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ) \frac { 1 } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \left [ x ^ { 2 } + 1 \right ] ^ { \prime } } { x ^ { 2 } + 1 }
\end {array} $$
و با اعمال همه مشتق‌ها، مشتق تابع به صورت زیر خواهد بود:
$$ \large \begin {array} { c }
f ^ { \prime } ( x ) = \left ( \frac { 1 } { x } + e ^ { \sin ( x ) } \cos ( x ) – 3 x ^ { – 4 } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \times \\
\times \frac { \left ( 1 3 \cdot 2 x + \ln ( 2 ) 2 ^ { x } \right ) \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } – \left ( 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ) \frac { 1 } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } ( 2 x + 0 ) }{ x ^ { 2 } + 1 }
\end {array} $$
اما در اینجا باید دامنه مشتق را نیز تعیین کنیم. با توجه به وجود $$ x $$ در مخرج، باید $$ x \neq 0 $$ باشد. همچنین، آرگومان $$ \ln ( x ) $$ نیز باید مثبت باشد. بنابراین، دامنه $$ x > 0 $$ است و مشتق تابع داده شده را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$$ \large \begin {aligned}
f ^ { \prime } ( x ) = \left ( \frac { 1 } { x } + e ^ { \sin ( x ) } \cos ( x ) – \frac { 3 } { x ^ { 4 } } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \times & \\
\times \frac { \left ( 2 6 x + \ln ( 2 ) 2 ^ { x } \right ) \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } – \left ( 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ) \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } } { x ^ { 2 } + 1 } & \\
= \left ( \frac { 1 } { x } + e ^ { \sin ( x ) } \cos ( x ) – \frac { 3 } { x ^ { 4 } } \right ) \frac { 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }} + \left ( \ln ( x ) + e ^ { \sin ( x ) } + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \right ) \times & \\
\times \frac { \left ( 2 6 x + \ln ( 2 ) 2 ^ { x } \right ) \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) – x \left ( 1 3 x ^ { 2 } + 2 ^ { x } \right ) } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } , x > 0
\end {aligned} $$
مثال ۹
مشتق تابع زیر را به دست آورید.
$$ \large f \left ( x \right ) = { \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8x } } } \right ) ^ { \sin \left ( { 2 x } \right ) } } $$
حل مثال ۹: این مسئله را با زیرکی حل می‌کنیم. ابتدا از تابع لگاریتم طبیعی می‌گیریم:
$$ \large \ln \left [ { f \left ( x \right ) } \right ] = \ln \left [ { { { \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } \right ) } ^ { \sin \left ( { 2 x } \right ) } } } \right ] = \sin \left ( { 2 x } \right ) \ln \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } \right ) $$
که مشتق آن به صورت زیر است:
$$ \large \begin {align*} \frac { { f’ \left ( x \right ) } } { { f \left ( x \right ) } } & = 2 \cos \left ( { 2 x } \right ) \ln \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } \right ) + \sin \left ( { 2 x } \right ) \frac { { 2 – 8 { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } { { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } \\ & = 2 \cos \left ( { 2 x } \right ) \ln \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } \right ) + \sin \left ( { 2 x } \right ) \frac { { 2 – 8 { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } { { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } \end {align*} $$
اکنون به سادگی $$ f ( x ) $$ را در عبارت بالا قرار داده و حاصل مشتق را به دست می‌آوریم:
$$ \large \begin {align*} f’ \left ( x \right ) & = f \left ( x \right ) \left [ { 2 \cos \left ( { 2 x } \right ) \ln \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } \right ) + \sin \left ( { 2 x } \right ) \frac { { 2 – 8 { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } { { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } } \right ] \\ & = {{ { { \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } \right ) } ^ { \sin \left ( { 2 x } \right ) } } \left [ { 2 \cos \left ( { 2 x } \right ) \ln \left ( { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } \right ) + \sin \left ( { 2 x } \right ) \frac { { 2 – 8 { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } { { 2 x – { { \bf { e } } ^ { 8 x } } } } } \right ] } } \end {align*} $$
مثال ۱۰
با مشتق‌گیری ضمنی، مقدار $$ y’$$ را از رابطه زیر به دست آورید.
$$ \large \tan \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) = 3 x + { y ^ 2 } $$
حل مثال ۱۰: از دو طرف نسبت به $$ x $$ مشتق می‌گیریم:
$$ \large \left ( { 2 x \, { y ^ 4 } + 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } y’ } \right ) { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) = 3 + 2 y \, y’ $$
و مقدار $$ y’$$ را از عبارت بالا به دست می‌آوریم:
$$ \large \begin {align*} 2 x \, { y ^ 4 } { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) + 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } y’ { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) & = 3 + 2 y \, y’ \\ \left ( { 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } { { \sec } ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) – 2 y } \right ) y’ & = 3 – 2 x \, { y ^ 4 } { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) \\ y’ & = { { \frac { { 3 – 2 x \, { y ^ 4 } { { \sec } ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) } } { { 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } { { \sec } ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) – 2 y } } } } \end {align*} $$
مثال ۱۱
با مشتق‌گیری ضمنی، مقدار $$ y’$$ را از رابطه زیر به دست آورید.
$$ \large \left ( { 2 x \, { y ^ 4 } + 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } y’ } \right ) { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) = 3 + 2 y \, y’ $$
حل مثال ۱۱: از دو طرف نسبت به $$ x $$ مشتق می‌گیریم و خواهیم داشت:
$$ \large \begin {align*} 2 x \, { y ^ 4 } { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) + 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } y’ { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) & = 3 + 2 y \, y’ \\ \left ( { 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } { { \sec } ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) – 2 y } \right ) y’ & = 3 – 2 x \, { y ^ 4 } { \sec ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) \\ y’ & = { { \frac { { 3 – 2 x \, { y ^ 4 } { { \sec } ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) }} { { 4 { x ^ 2 } { y ^ 3 } { { \sec } ^ 2 } \left ( { { x ^ 2 } { y ^ 4 } } \right ) – 2 y } } } } \end {align*} $$
مثال ۱۲
از مشتق‌گیری لگاریتمی استفاده کرده و مشتق تابع زیر را بیابید.
$$ \large y = \frac { { \sin \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { 6 – { z ^ 4 } } \right ) } ^ 3 } } } $$
حل مثال ۱۲: از دو طرف لگاریتم می‌گیریم:
$$ \large \begin {align*} \ln \left ( y \right ) & = \ln \left [ { \frac { { \sin \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { 6 – { z ^ 4 } } \right ) } ^ 3 } } } } \right ] = \ln \left [ { \sin \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) } \right ] – \ln \left [ { { { \left ( { 6 – { z ^ 4 } } \right ) } ^ 3 } } \right ] \\ & = \ln \left [ { \sin \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) } \right ] – 3 \ln \left [ { 6 – { z ^ 4 } } \right ] \end {align*} $$
اکنون از دو طرف مشتق می‌گیریم:
$$ \large \frac { { y’ } } { y } = \frac { { \left ( { 3 + 2 z } \right ) \cos \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) } } { { \sin \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) } } – 3 \left [ { \frac { { – 4 { z ^ 3 } } } { { 6 – { z ^ 4 } } } } \right ] = \left ( { 3 + 2 z } \right ) \cot \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) + \frac { { 1 2 { z ^ 3 } } } { { 6 – { z ^ 4 } } } $$
و در نهایت، $$y’$$ به دست می‌آید:
$$ \large \begin {align*} y’ & = y \left [ { \left ( { 3 + 2 z } \right ) \cot \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) + \frac { { 1 2 { z ^ 3 } } } { { 6 – { z ^ 4 } } } } \right ] \\ & = \require {bbox} { { \frac { { \sin \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { 6 – { z ^ 4 } } \right ) } ^ 3 } } } \left [ { \left ( { 3 + 2 z } \right ) \cot \left ( { 3 z + { z ^ 2 } } \right ) + \frac { { 1 2 { z ^ 3 } } } { { 6 – { z ^ 4 } } } } \right ] } } \end {align*} $$
مثال ۱۳
مشتق تابع $$ y = {\log_2}x \cdot {\log _3}x $$ را بنویسید.
حل مثال ۱۳: با استفاده از قاعده ضرب، داریم:
$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { { \log } _ 2 } x \cdot { { \log } _ 3 } x } \right ) ^ \prime = { \left ( { { { \log } _ 2 } x } \right ) ^ \prime \cdot { \log _ 3 } x } + { { \log _ 2 } x \cdot \left ( { { { \log } _ 3 } x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \frac { 1 } { { x \ln 2 } } \cdot { \log _ 3 } x } +{ { \log _ 2 } x \cdot \frac { 1 } { { x \ln 3 } } } = { \frac { 1 } { x } \left( { \frac { { { { \log } _ 3 } x } } { { \ln 2 } } + \frac { { { { \log } _ 2 } x } } { { \ln 3 } } } \right ) . } \end {align*} $$
اکنون از قانون تغییر مبنا استفاده کرده و می‌نویسیم:
$$ \large { { \log _ 3 } x = \frac { { \ln x } } { { \ln 3 } } , \; } \kern0pt{ { \log _ 2 } x = \frac { { \ln x } } { { \ln 2 } } . } $$
بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large { y ^ \prime } = { \frac { 1 } { x } \left ( { \frac { { { { \log } _ 3 } x } } { { \ln 2 } } + \frac { { { { \log } _ 2 } x } } { { \ln 3 } } } \right ) } = { \frac { 1 } { x } \left ( { \frac { { \ln x } } { { \ln 2\ln 3}} + \frac { { \ln x } } { { \ln 3 \ln 2 } } } \right ) } = { \frac { { 2 \ln x } } { { x \ln 2\ln 3 } } . } $$
مثال ۱۴
مشتق تابع $$ y = \ln \left( {\tan x + \sec x} \right) $$ را محاسبه کنید.
حل مثال ۱۴: به صورت زیر از تابع مشتق می‌گیریم:
$$ \large \require {cancel} \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left [ { \ln \left ( { \tan x + \sec x } \right ) } \right ] ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \tan x + \sec x } } \cdot } \kern0pt{ { \left ( { \tan x + \sec x } \right ) ^ \prime } } \\ & = {\frac{1}{{\tan x + \sec x}} \cdot } \kern0pt{ \left ( { { { \sec } ^ 2 } x + \tan x \cdot \sec x } \right ) } \\ & = { \frac { { \sec x \cancel { \left ( { \tan x + \sec x } \right ) } } } { { \cancel { \tan x + \sec x } } } = \sec x . } \end {align*} $$
دامنه تابع به صورت زیر است:
$$ \large \begin {align*} & { \left \{ \begin {array} { l } \tan x + \sec x \gt 0 \\ x \ne \frac { \pi } { 2 } + \pi n \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left \{ \begin {array} { l } \large \frac { { \sin x } } { { \cos x } } \normalsize + \large \frac { 1 } { { \cos x } } \normalsize \gt 0 \\ x \ne \frac { \pi } { 2 } + \pi n \end {array} \right . , \; \; } \\ &\Rightarrow { \left \{ \begin {array} { l } \large \frac { { \sin x + \cos x } } { { \cos x } } \normalsize \gt 0 \\ x \ne \frac { \pi } { 2 } + \pi n \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left [ { \begin {array} { * {20} {l}} { \left \{ { \begin {array} { *{20}{l} } { \sin x + \cos x \gt 0 } \\ { \cos x \gt 0 } \end {array} } \right . } \\ { \left \{ {\begin {array} {*{20}{l}} { \sin x + \cos x \lt 0 } \\ { \cos x \lt 0 } \end {array} } \right . } \end {array} } \right . , \; \; } \\ & \Rightarrow { \left [ { \begin {array} {*{20}{l}} { \left \{ { \begin {array} {*{20}{l}} { \tan x + 1 \gt 0 } \\ { \cos x \gt 0 } \end {array} } \right . } \\ { \left \{ { \begin {array} {*{20}{l}} { \tan x + 1 \lt 0 } \\ { \cos x \lt 0 } \end {array}} \right . } \end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow { \left [ { \begin {array} {*{20}{l}} { \left \{ { \begin {array} {*{20}{l}} { \tan x \gt – 1 } \\ { \cos x \gt 0 } \end {array} } \right . } \\ { \left \{ { \begin {array} {*{20}{l}} { \tan x \lt – 1 } \\ { \cos x \lt 0 } \end {array} } \right . } \end {array}} \right. . } \end {align*} $$
جواب دستگاه نامعادلات اول به صورت زیر است:
$$ \large { – \frac { \pi } { 4 } + \pi n \lt x \lt \frac { \pi } { 2 } + \pi n , \; \; } \kern-0.3pt{ n \in \mathbb { Z } . } $$
دستگاه نامعادلات دوم ناسازگار است. بنابراین، دامنه به صورت زیر نشان داده می‌شود:
$$ \large { – \frac { \pi } { 4 } + \pi n \lt x \lt \frac { \pi } { 2 } + \pi n , \; \; } \kern-0.3pt{ n \in \mathbb { Z } . } $$
مثال ۱۵
مشتق تابع $$ y = {\log_x}2 $$ را به دست آورید.
حل مثال ۱۵: با استفاده از تغییر مبنا، تابع را به فرم زیر می‌نویسیم:
$$ \large { y = { \log _ x } 2 } = { \frac { { { { \log } _ 2 } 2 } } { { { { \log } _ 2 } x } } } = { \frac { 1 } { { { { \log } _ 2 } x } } . } $$
سپس، از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:
$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \frac { 1 } { { { { \log } _ 2 } x } } } \right ) ^ \prime = { \left [ { { { \left ( { { { \log } _ 2 } x } \right ) } ^ { – 1 } } } \right ] ^ \prime } \\ & = { \left ( { – 1 } \right ) \cdot { \left ( { { { \log } _ 2 } x } \right ) ^ { – 2 } } \cdot \left ( { { { \log } _ 2 } x } \right ) ^ \prime } \\ & = { – \frac { 1 } { { { { \left ( { { { \log } _ 2 } x } \right ) } ^ 2 } } } \cdot \frac { 1 } { { x \ln 2 } } . } \end {align*} $$
با توجه به تساوی $$ {\log _2}x = \large{\frac{{\ln x}}{{\ln 2}}}\normalsize $$، خواهیم داشت:
$$ \large \require {cancel} \begin {align*}
{ y ^ \prime } & = { – \frac { 1 } { { { { \left ( { { { \log } _ 2 } x } \right ) } ^ 2 } } } \cdot \frac { 1 } { { x \ln 2 } } } = { – \frac { 1 } { { { { \left ( { \frac { { \ln x } } { { \ln 2 } } } \right ) } ^ 2 } \cdot x \ln 2 } } } \\ & = { – \frac { 1 } { { \frac { { \ln x } } { { \ln 2 } } \cdot \frac { { \ln x \cdot x \cancel { \ln 2 } } } { \cancel { \ln 2 } } } } } = { – \frac { 1 } { { x \ln x { { \log } _ 2 } x } } . }
\end {align*} $$
مثال ۱۶
مشتق تابع $$ y = {\log_2}x\ln \left( {2x} \right) $$ را در $$ x = 1 $$ به دست آورید.
حل مثال ۱۶: با استفاده از قاعده ضرب، داریم:
$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime & = \left [ { { { \log } _ 2 } x \ln \left ( { 2 x } \right ) } \right ] ^ \prime = { \left ( { { { \log } _ 2 } x } \right ) ^ \prime \cdot \ln \left ( { 2 x } \right ) } + { { \log _ 2 } x \cdot \left ( { \ln \left ( { 2 x } \right ) } \right ) ^ \prime } \\ & ={ \frac{1}{{x\ln 2}} \cdot \ln \left( {2x} \right) }+{ {\log _2}x \cdot \frac{1}{{2x}} \cdot 2 }={ \frac{{\ln \left( {2x} \right)}}{{x\ln 2}} + \frac{{{{\log }_2}x}}{x} } \\ & ={ \frac{1}{x}\left( {\frac{{\ln 2 + \ln x}}{{\ln 2}} + {{\log }_2}x} \right) } ={ \frac{1}{x}\left( {1 + \frac{{\ln x}}{{\ln 2}} + {{\log }_2}x} \right) } \\ & ={ \frac{1}{x}\left( {1 + 2{{\log }_2}x} \right).}
\end {align*} $$
در نهایت، مشتق در $$ x = 1 $$ برابر است با:
$$ \large {y^\prime\left( 1 \right) }={ \frac{1}{1}\left( {1 + 2{{\log }_2}1} \right) }={ 1 + 2 \cdot 0 }={ 1.} $$
مثال ۱۷
مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.
$$ \large y = \ln \left ( { x + \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } \right ) $$
حل مثال ۱۷: با مشتق گرفتن و ساده‌سازی، خواهیم داشت:
$$ \large \begin {align*} \require {cancel} { y’ \left ( x \right ) } & = { { \left [ { \ln \left ( { x + \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } \right ) } \right ] ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { x + \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } } \cdot \; } \kern0pt{ { \left ( { x + \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { x + \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } } \cdot } \kern0pt{ \left ( { 1 + \frac { { \cancel { 2 } x } }{ { \cancel { 2 } \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } } } \right ) } \\ & = { \frac { \cancel { { \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } + x } } }{ { \cancel { \left ( { x + \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } \right ) } \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { a ^ 2 } } } } . } \end {align*} $$
توجه کنید که این تابع فقط برای $$ x \neq 0 $$ تعریف شده است.
مثال ۱۸
مشتق تابع زیر را به دست آورید:
$$ \large y = \ln { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { x ^ 4 } } } } } $$
حل مثال ۱۸: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای و قانون توان، داریم:
$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \ln \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { x ^ 4 } } } } } \right ) ^ \prime = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { x ^ 4 } } } } } } \cdot \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { x ^ 4 } } } } } \right ) ^ \prime } = { \sqrt { 1 – { x ^ 4 } } \cdot \left ( { { { \left ( { 1 – { x ^ 4 } } \right ) } ^ { – \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) ^ \prime } \\ & = { { \left ( { 1 – { x ^ 4 } } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \cdot { \left ( { – \frac { 1 } { 2 } { { \left ( { 1 – { x ^ 4 } } \right ) } ^ { – \frac { 3 } { 2 } } } } \right ) } \cdot { \left ( { – 4 { x ^ 3 } } \right ) } = { \frac { { { { \left ( { 1 – { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \cdot 4 { x ^ 3 } } } { { 2 { { \left ( { 1 – { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } } = { \frac { { 2 { x ^ 3 } } } { { 1 – { x ^ 4 } } } . } \end {align*} $$
مثال ۱۹
مشتق تابع $$ y = \large{\frac{{{x^2}}}{{\ln x}}}\normalsize $$ را در $$ x = e $$ به دست آوربد.
حل مثال ۱۹: با استفاده از قاعد خارج قسمت، داریم:
$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime & = \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { { \ln x } } } \right ) ^ \prime = { \frac { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime \cdot \ln x – { x ^ 2 } \cdot \left ( { \ln x } \right ) ^ \prime } } { { { { \left ( { \ln x } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & ={ \frac { { 2 x \cdot \ln x – { x ^ 2 } \cdot \frac { 1 } { x } } } { { { { \ln } ^2 } x } } } = { \frac { { 2 x \ln x – x } } { { { { \ln } ^ 2 } x } } } = { \frac { { x \left ( { 2 \ln x – 1 } \right ) } } { { { { \ln } ^ 2 } x } } . }
\end {align*} $$
با قرار دادن $$ x = e $$، جواب نهایی به دست می‌آید:
$$ \large { y ^ \prime \left ( e \right ) } = { \frac { { e \left ( { 2 \ln e – 1 } \right ) } } { { { { \ln } ^ 2 } e } } } = { \frac { { e \left ( { 2 \cdot 1 – 1 } \right ) } } { { { 1 ^ 2 } } } } = { e . } $$
مثال ۲۰
مشتق تابع زیر را به دست آورید.
$$ \large y = \ln \sqrt { \frac { { 1 – x } } { { 1 + x } } } $$
حل مثال ۲۰: از قاعده‌های زنجیره‌ای و خارج قسمت استفاده می‌کنیم و داریم:
$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime & = \left ( { \ln \sqrt { \frac { { 1 – x } } { { 1 + x } } } } \right ) ^ \prime = { \frac { 1 } { { \sqrt { \frac { { 1 – x } } { { 1 + x } } } } } \cdot \left ( { \sqrt { \frac { { 1 – x } } { { 1 + x } } } } \right ) ^ \prime } \\ & = { \sqrt { \frac { { 1 + x } } { { 1 – x } } } } \cdot { \frac { 1 }{ { 2 \sqrt { \frac { { 1 – x } } { { 1 + x } } } } } } \cdot { \left ( { \frac { { 1 – x } } { { 1 + x } } } \right ) ^ \prime } \\ & = { \sqrt { \frac { { 1 + x } } { { 1 – x } } } } \cdot { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { { 1 + x } } { { 1 – x } } } } \cdot { \frac { { \left ( { – 1 } \right ) \cdot \left ( { 1 + x } \right ) – \left ( { 1 – x } \right ) \cdot 1 } } { { { { \left ( { 1 + x } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { { 1 + x } } { { 1 – x } } } \cdot { \frac { { – \color {blue} { 1 } – \cancel { \color {red} { x } } – \color {blue} { 1 } + \cancel { \color {red} { x } } } } { { { { \left ( { 1 + x } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { \left ( { 1 + x } \right ) \cdot \left ( { – \color {blue} { 2 } } \right ) } } { { 2 \left ( { 1 – x } \right ) { { \left ( { 1 + x } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { – 1 } } { { \left ( { 1 – x } \right ) \left ( { 1 + x } \right ) } } } = { \frac { 1 } { { \left ( { x – 1 } \right ) \left ( { x + 1 } \right ) } } } = { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } – 1 } } . }
\end {align*} $$
مثال ۲۱
مشتق تابع زیر را بیابید.
$$ \large y = \ln \left ( { \arccos \frac { 1 } { x } } \right ) $$
حل مثال ۲۱: دو بار از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:
$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { { \left [ { \ln \left ( { \arccos \frac { 1 } { x } } \right ) } \right ] ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \arccos \frac { 1 } { x } } } \cdot { \left ( { \arccos \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \arccos \frac { 1 }{ x } } } \cdot } \kern0pt{ \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) } ^ 2 } } } } } \right ) \cdot { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \arccos \frac { 1 } { x } } } \cdot } \kern0pt{ \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) } ^ 2 } } } } } \right ) \cdot } \kern0pt{ \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } \\ & = { \frac { 1 } { { \arccos \frac { 1 } { x } } } \cdot \frac { 1 } { { { x ^ 2 } \sqrt { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 2 } } } } } } } = { \frac { { \left | x \right | } } { { { x ^ 2 } \sqrt { { x ^ 2 } – 1 } \arccos \frac { 1 } { x } } } } \\ & = { \frac { 1 } { { \left | x \right | \sqrt { { x ^ 2 } – 1 } \arccos \frac { 1 } { x } } } . }
\end {align*} $$
دامنه این تابع و مشتق آن به صورت زیر است:
$$ \large { \left \{ \begin {array} { l } \arccos \frac { 1 } { x } \gt 0 \\ \left | { \frac { 1 } { x } } \right | \le 1 \\ x \ne 0 \\ { x ^ 2 } – 1 \gt 0 \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left \{ \begin {array} { l } \frac { 1 } { x } \ne 1 \\ \left | x \right | \ge 1 \\ x \ne 0 \\ \left | x \right | \gt 1 \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \; \left | x \right | \gt 1 . } $$
مثال ۲۲
مشتق تابع زیر را بیابید.
$$ \large y = \ln \left( {\ln \cot x} \right) $$
حل مثال ۲۲: دو بار از قاعده زنجیری استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:
$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { { \left [ { \ln \left ( { \ln \cot x } \right ) } \right ] ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \ln \cot x } } \cdot { \left ( { \ln \cot x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 }{ { \ln \cot x } } \cdot \frac { 1 } { { \cot x } } \cdot } \kern0pt{ { \left ( { \cot x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \ln \cot x } } \cdot \frac { 1 } { { \cot x } } \cdot } \kern0pt{ \left ( { – \cot x \cdot \csc x } \right ) } = { – \frac { { \csc x } } { { \ln \cot x } }. }
\end {align*} $$
اکنون دامنه تابع و مشاق را پیدا می‌کنیم. دستگاه نامعادلات متناظر را می‌توان به فرم زیر نوشت:
$$ \large { \left \{ \begin {array} { l } \ln \cot x \gt 0 \\ \cot x \gt 0 \\ x \ne \pi n , \; n \in \mathbb { Z } \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left \{ \begin {array} { l } \cot x \gt 1 \\ \cot x \gt 0 \\ x \ne \pi n , \; n \in \mathbb { Z } \end {array} \right . , \; \; } \\ \large \Rightarrow { \pi n \lt x \lt \frac { \pi }{ 4 } + \pi n , \; \; } \kern-0.3pt{ n \in \mathbb { Z } . } $$
مثال ۲۳
مشتق تابع زیر را به دست آورید.
$$ \large y = \frac { { { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } } } $$
حل مثال ۲۳: با استفاده از قاعده خارج قسمت، داریم:
$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { \frac { { 2 { x ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } \ln 2 } } – 2 x { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { { 2 \left [ { 1 – { { \log } _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } } \right ) \ln 2 } \right ] } } { { { x ^ 3 } \ln 2 } } , } \end {align*} $$
که در آن، $$ x \neq $$.
اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
- آموزش جامع ریاضی دبیرستان – ریاضی و فیزیک
- مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
- آموزش ریاضیات عمومی 1
- نمونه سوال اتحاد و تجزیه — همراه با جواب
- نمونه سوال مثلثات — همراه با جواب
- نمونه سوال انتگرال — همراه با جواب
سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.
بر اساس رای 2 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟