نمونه سوالات معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

s:14292:"s:101:"نمونه سوالات با پاسخ تشریحی ) گروه آزمود ( ";s:286:" ! : $ %& '&( "#!: 1395 )*:+ 1 )* 0 500 234 : 5 + 800400 8 : 97 608 6215 - 95 E B @ CD 13 > 2 20 A ?@> 2 A 2 8 : 6641068 - 686953774 E F :";s:2171:"مقدمۀ م لف کتاب حاضر مشتمل بر مجموع اي از مسائل معادلات دیفرانسیل با حل تشریحی آنها است ک جهت کمک ب دانشجویان جهت فراگیري بهتر محتواي درس نوشت شده است . این مجموع متشکل از مسائل موجود در آزمونهاي دانشگاههاي مختلف کشور و تمرینهاي برخی از کتابهاي معتبر معادلات دیفرانسیل است . با توج ب کاربرد کمک آموزشی کتاب، بدیهی است ک قبل از مراجع ب مسائل هر بخش از آن، لازم است جهت آشنایی با مفاهیم مربوط ، یکی از کتابهاي معتبر معادلات دیفرانسیل مطالع شود . ب خوانندگان پیشنهاد میشود ک جهت استفادة شایست از حل مسائل، ب طوري ک قدرت استدلال و حل مسئلۀ آنها را کاهش ندهد، پیش از مراجع ب راهحل مسئل ، ابتدا جهت حل مسئل توج و تلاش لازم را داشت باشند و چنانچ نتوانستند روش مناسبی براي حل مسئل بیابند، ب حل مسئل رجوع کنند تا ایدهاي بگیرند . در مرحلۀ بعد با ایدة اشاره شده، اقدام ب حل مسئل کنند و جهت اطلاع از صحت و سقم عملکرد خود، پاسخ کامل مسئل را مرور کنند . امید است محتویات کتاب، با استفادة مناسب، براي دانشجویان ساعی و کوشا مفید واقع شود . از همۀ عزیزانی ک ب مطالعۀ کتاب میپردازند صمیمان تقاضا میشود ک هرگون اشکال یا ایراد احتمالی را با مؤلف با آدرس الکترونیکی saedeh.saeedifard@uimath.com در میان بگذارند و یا با ناشر تماس بگیرند . در پایان از ناشر محترم، جناب آقاي فرهمند جهت تلاش بیوقف شان در نشر کتاب سپاسگزاري میشود . م لف : سائده سعیديفرد";s:1165:"2 راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل فهرست مطالب فصل 1 مقدم اي بر معادلات دیفرانسیل 1 ................................................................................................................... فصل 2 معادلات مرتب اول 6 ........................................................................................................................................... فصل 3 معادلات مرتب دوم و بالاتر 23 ......................................................................................................................... فصل 4 جوابهاي سري توانی و توابع خاص 41 ......................................................................................................... فصل 5 تبدیل لاپلاس و کاربردهاي آن 58 .................................................................................................................. فصل 6 دستگاههاي معادلات دیفرانسیل خطی 78 ....................................................................................................";s:905:"فصل 1 مقدم اي بر معادلات دیفرانسیل 1 فص 1 مقدمهاي بر معادلات دیفرانسی E معادلۀ دیفرانسیلی ک جواب آن دست منحنی زیر باشد را ب دست آورید ) . دانشگاه صنعتی شریف - ( 1391 2 1 2 — با توج ب این ک دست منحنی دو پارامتر دارد، مشتق اول و مشتق دوم تابع مورد نظر را ب محاسب میکنیم و پارامترهاي 1 و 2 را در دستگاه معادلات حاصل از معادل هاي ، و حذف میکنیم . داریم : 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 با جایگذاري 1 2 در مشتق اول داریم : 2 1 2 2 2 2 0 E ب ازاي چ مقادیري از معادلۀ دیفرانسیل زیر داراي جوابهایی ب صورت ) دانشگاه فردوسی مشهد ( 1386 - 0 — داریم : با شرط است . 2 5 4";s:710:"1 2 2 در نتیج ، داریم : براي این ک راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل 1 2 5 1 5 4 4 0 0 2 2 1 1 1 4 2 2 1 2 5 5 4 0 1 5 4 0 ، 2 4 1 0 4 0 0 معادلۀ فوق برقرار باشد، داریم : 2 E فرض کنید . 0 براي کدام مقادیر ثابت ) تمرین کتاب معادلات دیفرانسیل - فینان ( — داریم : با جایگذاري در معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر، داریم : در نتیج ، براي این ک یک جواب معادلۀ دیفرانسیل زیر است؟ 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 معادلۀ مورد نظر برقرار باشد، باید داشت باشیم :";s:979:"فصل 1 مقدم اي بر معادلات دیفرانسیل 3 1 2 2 0 2 3 1 2 0 2 E نشان دهید 2 1 2 جواب معادلۀ زیر است، آنگاه 1 و 2 را ب دست آورید ) . دانشگاه صنعتی شریف ( 1391 - 3 2 0 0 0 0 1 — ابتدا نشان میدهیم 2 1 2 جواب معادلۀ مورد نظر است . ب این منظور و را محاسب کرده و در معادل جایگذاري میکنیم . داریم : با جایگذاري در معادلۀ مورد نظر داریم : 1 3 2 2 2 1 4 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 3 1 6 2 2 2 1 1 2 2 2 0 در نتیج 2 ، 2 استفاده میکنیم . داریم : جواب معادلۀ مورد نظر است . براي ب با حل دستگاه معادلۀ فوق، داریم 1 و 1 . 2 1 دست آوردن 1 و ، 2 از و 0 0 0 1 2 1 1 1 2 0 2 2 0 E مسئلۀ مقدار اولی زیر را حل کنید ) . تمرین کتاب معادلات دیفرانسیل - ترنچ ( 2 1 2 4 2 7";s:596:". 2 با راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل 2 2 3 3 3 3 4 12 4 12 7 1 2 2 2 2 3 6 3 6 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 26 3 26 3 26 3 2 6 1 2 2 2 2 7 3 5 3 4 2 1 1 4 — داریم : در نتیج ، داریم : بنا بر این 1 ، در نتیج ، داریم : 4 14 3 1 2 4 8 3 3 3 2 26 3 بنا بر این ، داریم : بنا بر این ، داریم : 1 5 3 در نتیج ، داریم : E معادلۀ 4 2 2 1 میشود؟ ) دانشگاه صنعتی شریف ( 1391 - — داریم : ت ییر مت یر 2 2 2 2 2 ب چ معادل اي تبدیل 2 2";s:173:"فصل 1 مقدم اي بر معادلات دیفرانسیل 5 22 با جایگذاري در معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر، داریم : 44221 442 2222 2";s:599:"6 راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل فص 2 معادلات مرتبه اول E پاسخ معادلۀ دیفرانسیل مرتب اول زیر را ب دست آورید ) . دانشگاه صنعتی شریف ( 1391 - 10 20 2 18 3 17 1 1 — معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر همگن است . با ت ییر مت یر و معادل را حل میکنیم . داریم : 10 20 2 18 10 20 2 18 3 17 3 17 10 18 17 10 17 10 17 10 17 17 10 18 10 18 1 18 10 18 براي پیدا کردن مقدار از 1 1 استفاده میکنیم . داریم :";s:809:"فصل 2 معادلات مرتب اول 7 E مسئلۀ مقدار اولی را براي 1 1 18 18 1 3 2 2 1 . 10 1 1 حل کنید ) تمرین کتاب معادلات دیفرانسیل - لوگان .( 0 3 — از دو طرف معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر انتگرال میگیریم . با توج ب قضیۀ اساسی حساب داریم : براي محاسبۀ ، مقادیر اولی 3 ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 2 3 2 را بر معادلۀ فوق اعمال میکنیم . داریم : 3 1 4 E پاسخ معادلۀ دیفرانسیل مرتب اول زیر را ب دست آورید ) . دانشگاه صنعتی شریف ( 1391 - — معادل دیفرانسیل مورد نظر، معادلۀ خطی مرتب اول است ک در آن 1 در نتیج ، داریم : 1 ، داریم :";s:485:"8 در نتیج ، داریم : راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل 1 2 3 . 2 1 3 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 2 ∫ 2 2 ( 1 ∫ ) 2 2 2 2 E پاسخ معادلۀ دیفرانسیل زیر را ب دست آورید ) . دانشگاه صنعتی شریف ( 1391 - 6 3 — 6 معادل دیفرانسیل مورد نظر، معادلۀ خطی مرتب اول است ک در آن 3 ، 1 3 3 3 در نتیج ، داریم : ( ) 1 3 6 ∫ ∫ ( ) 1 داریم :";s:485:"فصل 2 معادلات مرتب اول 9 316 4 . 312 4 313 333 613 33 در نتیج ، جواب معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر عبارت است از : 6 1 3 33 E معادلۀ دیفرانسیل زیر را حل کنید ) . دانشگاه آزاد تهران جنوب ( 1388 - 1 2 — داریم : 11 22 2 2 معادل دیفرانسیل 2 حاصل، معادلۀ خطی مرتب اول نسبت ب است ک در آن ، داریم : 2 در نتیج ، داریم :";s:462:"10 راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل 1 3 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 1 3 3 3 ∫ 2 2 ∫ ( ) 1 3 2 در نتیج ، جواب معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر عبارت است از : E پاسخ معادلۀ دیفرانسیل مرتب اول زیر را ب دست آورید ) . دانشگاه صنعتی شریف ( 1391 - 2 2 1 — با ت ییر مت یر 2 1 و 2 داریم : 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2";s:704:"فصل 2 معادلات مرتب اول 11 . 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 E پاسخ معادلۀ دیفرانسیل مرتب اول زیر را ب دست آورید ) . دانشگاه صنعتی شریف ( 1391 - 1 2 — دو طرف معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر را بر تقسیم میکنیم . داریم : 1 1 2 مشاهده میشود ک این معادلۀ یک معادلۀ برنولی از مرتبۀ 1 حل معادل را ادام میدهیم . داریم : معادل دیفرانسیل حاصل، معادلۀ خطی مرتب اول نسبت ب داریم : در نتیج ، داریم : است . با ت یر مت یر 2 1 1 2 2 ، ( ) 2 2 1 2 2 است ک در آن ∫ ( 2 ) 2";s:535:"راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل 2 2 2 ∫ 1 3 2 2 1 1 4 2 2 2 1 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 4 12 در نتیج ، داریم : E معادلۀ زیر را حل کنید ) . دانشگاه آزاد تهران جنوب ( 1388 - — داریم : 2 2 2 2 2 2 1 2 2 مشاهده میشود ک این معادلۀ یک معادلۀ برنولی نسبت ب از مرتبۀ 2 1 1 و ، 2 حل معادل را ادام میدهیم . داریم : 2 1 1 2 1 2 است . با ت یر مت یر 1 2 2 2 1 1 2";s:680:"فصل 2 معادلات مرتب اول معادل 1 دیفرانسیل حاصل، معادلۀ خطی مرتب اول نسبت ب . داریم : در نتیج ، داریم : در نتیج ، داریم : 13 ( 1 است ک در آن ، 2 2 ) 2 2 2 ∫ ∫ ( 1 ) 1 1 2 2 E معادلۀ مسیرهاي قائم ) متعامد ( بر دست منحنیهاي ) ثابت دلخواه حقیقی است (. را بیابید ) . دانشگاه آزاد تهران جنوب ( 1389 - — ابتدا معادلۀ دیفرانسیل مسیر اصلی را تشکیل میدهیم . براي این کار ثابت را از دستگاه معادلۀ زیر حذف میکنیم . داریم :";s:1010:"1 ′ ، 14 در معادلۀ حاصل ب جاي را قرار میدهیم . داریم : راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل 1 ′ − 0 معادلۀ دیفرانسیل فوق را حل میکنیم . این معادل ، یک معادلۀ مرتب اول تفکیکپذیر است . داریم : 2 2 2 را تعیین 2 2 2 0 E معادلۀ مسیرهاي قائم بر منحنیهاي جواب معادلۀ دیفرانسیل 0 کنید ) . دانشگاه آزاد تهران جنوب ( 1383 - — 1 در معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر ب جاي ′ ، را قرار میدهیم . داریم : 2 2 2 0 2 2 2 براي تعیین معادلۀ مسیرهاي قائم مورد نظر، لازم است معادلۀ دیفرانسیل فوق را حل میکنیم . معادلۀ مورد نظر یک معادلۀ مرتب اول همگن است . در نتیج ، از ت ییر مت یر و استفاده میکنیم . داریم : 2 2 2 2 2 2 2 2";s:517:"فصل 2 معادلات مرتب اول 15 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 E مسیرهاي قائم خانوادة منحنیهاي را بیابید ) . دانشگاه آزاد تهران جنوب - ( 1383 — ابتدا معادلۀ دیفرانسیل مسیر اصلی را تشکیل میدهیم . براي این کار ثابت را از دستگاه معادلۀ زیر حذف میکنیم . داریم : در معادلۀ حاصل ب جاي 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ′ ، را قرار میدهیم . داریم :";s:737:"16 راهنماي حل مسائل آزمون معادلات دیفرانسیل 1 2 1 1 2 معادلۀ دیفرانسیل فوق را حل میکنیم . این معادل ، یک معادلۀ مرتب اول تفکیکپذیر است . داریم : 1 1 2 2 2 1 2 2 E ابتدا عامل انتگرالساز معادل دیفرانسیل زیر را ب دست آورده، سپس معادل را کامل نموده و جواب عمومی آن را ب دست آورید ) . دانشگاه گیلان ( 1392 - 2 0 — داریم و . 2 در نتیج : 2 در نتیج ، داریم : بنا بر این ، معادلۀ دیفرانسیل مورد نظر، داراي فاکتور انتگرال ب 1 ∫ ( ) ∫ 1 صورت زیر است .";";