در ریاضیات، فرمول انتگرال کوشی، که به احترام آگوستین لوییز کوشی نامگذاری شده‌است، یک حکم اساسی در آنالیز مختلط است و این حقیقت را بیان می‌کند که یک (تابع هولومورفیک) (Holomorphic function) تعریف شده بر روی یک قرص، به‌طور کامل با مقادیرش بر روی حاشیهٔ قرص مشخص می‌شود. این فرمول همچنین می‌تواند برای ساده کردن انتگرال همهٔ مشتقات یک تابع تحلیلی به کار رود.
فرض کنید
U
{\displaystyle U}
D
{\displaystyle D}
f
(
a
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
z
−
a
d
z
{\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz}
که انتگرال کانتور (contour integral) در جهت پادساعتگرد گرفته شده‌است.
اثبات این حکم از قضیهٔ انتگرال کوشی استفاده می‌کند و مانند آن قضیه فقط به مشتق‌پذیر بودن
f
{\displaystyle f}
f
(
n
)
(
a
)
=
n
!
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
(
z
−
a
)
n
+
1
d
z
.
{\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.}
برخی این عبارت را فرمول مشتق‌گیری کوشی می‌نامند. یک اثبات برای آن، نتیجهٔ فرعی این قضیه‌است که توابع هولومورفیک تحلیلی‌اند.
می‌توان دایرهٔ
C
{\displaystyle C}
این فرمول‌ها می‌توانند برا اثبات قضیه مانده (residue theorem) استفاده شوند، که یک تعمیم وسیع است.
خلاصه اثبات فرمول انتگرال کوشی[ویرایش]
با استفاده از قضیه انتگرال کوشی می‌توان نشان داد که انتگرال بر روی
C
{\displaystyle C}
z
=
a
+
ε
e
i
t
{\displaystyle z=a+\varepsilon e^{it}}
که در آن
0
≤
t
≤
2
π
{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }
کاربرد نمونه[ویرایش]
[[پرونده:|thumb|400px|سطح تابع f(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) و نقاط تکین آن، با کانتورهای شرح داده شده در متن.]] تابع
f
(
z
)
=
z
2
z
2
+
2
z
+
2
{\displaystyle f(z)={z^{2} \over z^{2}+2z+2}}
و مسیر |z| = 2 (آن را C بنامید) را در نظر بگیرید.
برای بدست آوردن انتگرال f(z) حول مسیر، نیاز به دانستن نقاط تکین f(z) داریم. می‌توان
f
{\displaystyle f}
f
(
z
)
=
z
2
(
z
−
z
1
)
(
z
−
z
2
)
,
where
z
1
=
−
1
+
i
,
z
2
=
−
1
−
i
.
{\displaystyle f(z)={z^{2} \over (z-z_{1})(z-z_{2})},{\mbox{where}}\ z_{1}=-1+i,z_{2}=-1-i.}
و قطب‌ها آشکار می‌شوند. قدر مطلق آنها کمتر از ۲ است و بنابراین درون مسیر قرار دارند و می‌توان فرمول را بر آنها اعمال کرد. با استفاده از قضیهٔ کوشی-گورسا می‌توان انتگرال حول مسیر را به صورت مجموع انتگال‌هایی حول z1 و z2 بیان کرد که مسیر، یک دایرهٔ کوچک حول هر قطب است. این مسیرها را C1 حول z1 و C2 حول z2 بنامید.
اکنون
f
{\displaystyle f}
f
(
z
)
=
z
2
z
−
z
2
{\displaystyle f(z)={z^{2} \over z-z_{2}}}
و حالا
∮
C
1
(
z
2
z
−
z
2
)
z
−
z
1
d
z
=
2
π
i
z
1
2
z
1
−
z
2
.
{\displaystyle \oint _{C_{1}}{\left({z^{2} \over z-z_{2}}\right) \over z-z_{1}}\,dz=2\pi i{z_{1}^{2} \over z_{1}-z_{2}}.}
با انجام عمل مشابه بر روی مسیر دیگر
f
(
z
)
=
z
2
z
−
z
1
,
{\displaystyle f(z)={z^{2} \over z-z_{1}},}
و انتگرال حول مسیر اصلی، C، مجموع این دو انتگرال است:
∮ C z 2 z 2 + 2 z + 2 d z
= ∮ C 1 ( z 2 z − z 2 ) z − z 1 d z + ∮ C 2 ( z 2 z − z 1 ) z − z 2 d z
= 2 π i ( z 1 2 z 1 − z 2 + z 2 2 z 2 − z 1 )
= 2 π i ( − 2 )
=
−
4
π
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{z^{2} \over z^{2}+2z+2}\,dz&{}=\oint _{C_{1}}{\left({z^{2} \over z-z_{2}}\right) \over z-z_{1}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\left({z^{2} \over z-z_{1}}\right) \over z-z_{2}}\,dz\\\\&{}=2\pi i\left({z_{1}^{2} \over z_{1}-z_{2}}+{z_{2}^{2} \over z_{2}-z_{1}}\right)\\\\&{}=2\pi i(-2)\\\\&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}
