معادلات دیفرانسیل همگن

یک معادله را معادله همگن می نامیم که اگر رابطه زیر به ازای هر عدد حقیقی λ {\displaystyle \lambda } برقرار باشد:

f ( x , λ y , λ y ′ , λ y ″ ) = λ n f ( x , y , y ′ , y ″ ) {\displaystyle f(x,\lambda y,\lambda y',\lambda y'')=\lambda ^{n}f(x,y,y',y'')}

برای مثال برای معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول داریم:

d y d x = F ( x , y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F(x,y)}

به عبارت دیگر معادله همگن است اگر با تبدیل y {\displaystyle y} ، y ′ {\displaystyle y'} و y ″ {\displaystyle y''} به λ y {\displaystyle \lambda y} ، λ y ′ {\displaystyle \lambda y'} و λ y ″ {\displaystyle \lambda y''} شکل اویه تابع با توانی از λ {\displaystyle \lambda } ظاهر شود؛ و این موضوع زمانی ممکن است که یکایک جملات معادله بر حسب y {\displaystyle y} ، y ′ {\displaystyle y'} و y ″ {\displaystyle y''} از یک درجه یکسان باشند.

در این صورت f {\displaystyle f} را تابع همگن از درجه λ {\displaystyle \lambda } یا n {\displaystyle n} می‌نامیم؛ و برای حل آن از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم. y= vx dy=vdx+xdv

جستارهای وابسته[ویرایش]

• معادلات قابل تبدیل به معادله همگن

منابع[ویرایش]

• فرزین حاجی جمشیدی-هوشمند سردار (۱۳۸۴)، معادلات دیفرانسیل معمولی، تهران: صفار، ص. ۷۱، شابک ۹۶۴-۵۹۷۳-۱۳-۹