اگر تابع زیر انتگرال پیچیده‌تر از توابع اصلی انتگرال‌گیری باشد، باید به کمک روشهای انتگرال‌گیری، حاصل انتگرال را ساده کرده و سپس با فرمول‌های داده شده، جواب انتگرال را بیابیم. یکی از روشهای انتگرال‌گیری، روش تغییر متغیر است. اگر در تابع زیر انتگرال بتوانیم قسمتی را بیابیم که مشتق آن قسمت (یا حتی ضریبی از مشتق آن) در ضرب شده باشد، آن قسمت را متغیر جدیدی مثلاً در نظر گرفته و با دیفرانسیل‌گیری، انتگرال را ساده می‌کنیم. پس از حل کردن انتگرال، جواب را بر حسب بازنویسی می‌کنیم.
یادآوری:
(پارامتر) d × مشتق تابع = دیفرانسیل تابع |
مثلاً دیفرانسیل (یعنی ) در تابع زیر به این شکل به دست می‌آید:
مثال: حاصل انتگرال را به روش تغییر متغیر بیابید.
حل: مشتق عبارت در صورت وجود دارد و در ضرب شده است پس با تغییر متغیر انتگرال را حل می‌کنیم:
مثال: حاصل انتگرال را به روش تغییر متغیر بیابید.
حل: مشتق عبارت یعنی در ضرب شده است پس با تغییر متغیر انتگرال را حل می‌کنیم:
مثال: حاصل انتگرال را به روش تغییر متغیر بیابید.
حل: مشتق عبارت برابر است با که ضریبی از آن در ضرب شده است پس با تغییر متغیر انتگرال را حل می‌کنیم:
نکته۱: هرگاه ضریبی از مشتق یک عبارت در ضرب شده باشد، ضریب مورد نظر را به سمت منتقل کرده و عیناً عبارت داخل انتگرال را تشکیل می‌دهیم تا جایگذاری را انجام دهیم.
نکته۲: برای محاسبه انتگرال زمانی که زیر رادیکال است، عبارت داده شده را به صورت توانی می‌نویسیم:
مثال: حاصل انتگرال را به روش تغییر متغیر بیابید.
حل: مشتق عبارت برابر است با که ضریبی از آن (یعنی ) در ضرب شده است پس با تغییر متغیر انتگرال را حل می‌کنیم:
تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش تغییر متغیر بیابید.
نکته: انتگرال توابعی که شامل عبارات رادیکالی زیر باشند، با تغییر متغیر مثلثاتی مناسب قابل حل هستند:
درحل این نوع مسائل باید به یاد داشته باشیم که: و
مثال: انتگرال را به روش تغییر متغیر حل کنید.
حل: مطابق جدول بالا باید از تغییر متغیر استفاده کنیم:
برای حل انتگرال بدست آمده باید از تغییر متغیر استفاده کنیم زیرا ضریبی از مشتق آن در ضرب شده است:
و در نهایت جواب بدست آمده را بر حسب بازنویسی می‌کنیم:
مثال: حاصل انتگرال را به روش تغییر متغیر بیابید.
حل: ابتدا عبارت زیر رادیکال را مربع کامل می‌کنیم:
سپس برای اینکه عبارت زیر رادیکال به عبارت مشابه در جدول فوق تبدیل شود از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:
توجه کنید که با تغییر متغیر در انتگرال معین، باید کران‌ها نیز تغییر یابند و بر حسب متغیر جدید نوشته شوند. عبارت زیر رادیکال مشابه عبارت سوم جدول ذکر شده است پس داریم:
برای محاسبه انتگرال فوق از رابطه بازگشتی زیر کمک گرفتیم:
تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش تغییر متغیر بیابید.
نکته: برای محاسبه انتگرال توابعی که فقط بر حسب و باشند از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:
نکته: اگر توان و زوج باشد می‌توان از تغییر متغیر نیز استفاده کرد.
مثال: حاصل انتگرال را بیابید.
حل: تابع زیر انتگرال فقط بر حسب و است پس می‌توانیم از تغییر متغیر ذکر شده استفاده کنیم:
تمرین: حاصل انتگرال‌های زیر را به روش تغییر متغیر بیابید.
- (راهنمایی: )
نکته: برای محاسبه انتگرال توابعی که فقط بر حسب باشند از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:
مثال: حاصل انتگرال را بیابید.
حل:
تمرین: حاصل انتگرال را به روش تغییر متغیر بیابید.
فیلم آموزش انتگرال‌گیری به روش جزءبه‌جزء را ببینید تا تسلط بیشتری بر این مبحث داشته باشید:
این فیلم بخشی از پکیج کامل آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه است که از طریق لینک زیر میتوانید تهیه کنید:
پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید