به مجموع جملات یک دنباله، سری گویند و با نماد نمایش می‌دهند. پس فرض می‌کنیم آموزش قبلی ما در مورد دنباله‌ها را کاملاً مطالعه کرده‌اید.
مثال: سری مجموع جملات دنباله است:
اگر تعداد جملات بی‌نهایت نباشد، مجموع جمله اول سری را حاصلجمع جزیی مرتبه ام سری نامیده و با نمایش می‌دهند.
مثال: حاصلجمع جزیی مرتبه پنجم برابر است با:
هرگاه مجموع بی‌نهایت جمله سری، یک عدد مشخصی شود سری را همگرا به آن عدد و در غیر اینصورت واگرا گوییم.
مثال: سری همگرا به 1 است زیرا همانطور که جلوتر خواهیم دید یک سری هندسی است و مجموع بی‌نهایت جمله آن است ولی واگراست زیرا مجموع بی‌نهایت جمله آن بی‌نهایت می‌شود.
اثبات:
یعنی بی‌نهایت
در جواب می‌توان ایجاد کرد، در نتیجه واگراست.
انواع سری:
۱-سری هندسی:
سری که یک جمله اولیه مانند عدد داشته و جملات بعدی از ضرب شدن عددی مانند در جمله قبلی به دست می‌آیند را سری هندسی گوییم. عدد را جمله اول و را قدرنسبت می‌نامیم. هر جمله از ضرب شدن قدرنسبت در جمله قبلی به دست می‌آید.
مثال:
مجموع حاصلجمع جزیی جمله اول سری‌های هندسی ( تا ) از رابطه زیر به دست می‌آید:
اگر سری هندسی در بی‌نهایت، همگرا به می‌شود زیرا .
به زبان ساده‌تر، حاصل سری هندسی برابر است با اولین عدد تقسیم بر یک منهای عددی که به توان رسیده. (جمله اول تقسیم بر یک منهای قدرنسبت)
مثال: حاصل را بیابید.
حل: می‌توان این سری را به صورت حاصلجمع دو سری هندسی در نظر گرفت
تمرین: حاصل عبارات زیر را بیابید.
۲-سری تلسکوپی:
عبارت داخل سری تلسکوپی از حاصل تفریق یک جمله دنباله از جمله قبلی خود بدست می‌آید:
پس نتیجه می‌گیریم حاصل سری تلسکوپی برابر است با:
مثال: حاصل را بیابید.
حل:
زیرا:
که نیازی به محاسبه همه اعداد نیست و باید ابتدا اعداد قرینه را ساده کنیم که در نهایت فقط دو عدد و باقی می‌ماند.
نکته: هرگاه سری تلسکوپی تا بی‌نهایت باشد باید از حد جمله بزرگتر در بی‌نهایت استفاده کنیم.
مثال: حاصل را بیابید.
حل:
مثال: حاصل را بیابید.
حل:
تمرین: مقدار عبارت را بیابید.
۳- Pسری:
سری را P سری گویند و برای همگرا و برای واگراست. توجه داشته باشد که برای سری به تبدیل می‌شود که قبلاً هم ثابت کردیم واگراست. این سری خاص را سری همساز یا هارمونیک گویند.
مثال: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.
حل:
۱) این P سری با است که بزرگتر از یک است پس این سری همگراست.
۲) این سری از جمع دو عبارت و تشکیل شده که اولی و دومی است. یعنی اولی واگرا و دومی همگراست که در مجموع واگرا می‌شود. (مجموع واگرا و همگرا در کل واگرا می‌شود)
۳) این مجموع را می‌توان به فرم نمایش داد که با یک P سری همگراست.
تمرین: همگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.
۴-سری متناوب:
سری‌هایی که جملات آن به ترتیب و یک در میان مثبت و منفی (یا منفی و مثبت!) باشند را متناوب می‌نامیم. در حالت کلی یک سری متناوب به فرم زیر است:
سری متناوب به دو شرط زیر همگراست:
شرط دوم معادل است.
مثال: همگرایی یا واگرایی را بررسی کنید.
حل:
پس این سری همگراست.
تمرین: همگرایی یا واگرایی سری‌های زیر را بررسی کنید.
آموزش تصویری این مبحث:
http://dl.masirefarda.com/films/%D8%B3%D8%B1%DB%8C.mp4
جهت مشاهده آموزش کامل و تصویری درس ریاضی عمومی ۱، پکیج آموزش ریاضی عمومی ۱ دانشگاه را از لینک زیر تهیه کنید:
برای دانلود این آموزش به صورت pdf ، روی لینک زیر کلیک کنید:
برای مشاهده لینک باید وارد سایت شوید. اگر هنوز عضو سایت مسیرفردا نشده‌اید، همین الان عضو شوید و از آموزش‌های رایگان استفاده کنید
4.7 / 5 ( 19 امتیاز )