نمونه سوال همگرایی سری

آزمون نسبت دالامبر آزمون نسبت معیاری است برای تعیین وضعیت همگرایی یا واگرایی سریهایی با جملات حقیقی یا مختلط.
این آزمون نخستین بار توسط دالامبر(Jean le Rond d'Alembert) مطرح گردید و به همین دلیل به آن آزمون نسبت دالامبر یا به اختصار آزمون دالامبر می گویند، همچنین این آزمون گاهی با عنوان آزمون نسبت کوشی هم گفته می شود.
این آزمون بیان می کند:
اگریک سری باشد و داشته باشیم: آنگاه:

• اگر باشد سری همگرا است.
• اگر باشد سری واگرا است.
• اگر باشد آنگاه آزمون بی نتیجه است و برای تشخیص وضعیت همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.

• با ارائه چند مثال از حالات مختلف روش کار را به صورت عملی نشان می دهیم:

• به عنوان مثال وضعیت همگرایی سری را با این آزمون بررسی می کنیم:

بنابراین چون Lهمگرا است.

• حال می خواهیم وضعیت همگرایی این سری را بررسی کنیم:

داریم:

بنابراین چون L>1 است پس سری فوق واگرا است.

• حال یک مورد را بررسی می کنیم که در آزمون دالامبر بی نتیجه باشد. یعنی نتوانیم بوسیله این آزمون وضعیت همگرایی را تعیین کنیم. به عنوان مثال دنباله را در نظر بگیرید. بر طبق دستور آزمون داریم:

بنابراین چون L=1 است پس آزمون دالامبر بی نتیجه است و برای تعیین همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.

• حالت L=1 و آزمون راب:

همانطور که در توضیح آزمون نسبت دالامبر گفته شد اگر در سری داشته باشیم آنگاه آزمون بی نتیجه خواهد بود. در این صورت یکی از راههای بررسی همگرایی سری استفاده از آزمون راب است. این آزمون توسط ریاضی دانی به نام راب(Raabe) ابداع شد و بوسیله آن در حالت L=1 هم می توان در مورد همگرایی یا واگرایی سری بحث کرد.
روش او چنین بود:

اگر در سری داشته باشیم آنگاه در صورتی که عدد مثبتی چون C موجود باشد که:

آنگاه این سری همگرا خواهد بود. +

نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت ۱۳۸۸ ساعت 22:17 توسط ساماني  |