معادلات تفکیک پذیر جداشدنی

تعداد بازدید ها: 2,698

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزش‌ها، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. همچنین به روش حل معادلات خاص، مانند معادله دیفرانسیل چبیشف پرداختیم. در این آموزش، «معادله دیفرانسیل جدا شدنی» (Separable Differential Equation) معرفی، و روش حل آن‌ را بیان خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

معادله دیفرانسیل جدا شدنی

معادله دیفرانسیل مرتبه اول $$ y’ = f\left( {x,y} \right) $$ را یک معادله جداشدنی می‌نامیم اگر بتوان تابع $$ f\left( {x,y} \right) $$ را به‌صورت ضرب دو تابع از $$x $$ و $$y $$ نوشت:

$$ \large f \left( { x , y } \right) = p \left( x \right) h \left( y \right) , $$

که در آن $$ p (x ) $$ و $$ h ( y ) $$ توابعی پیوسته هستند.

مشتق $$ {y’} $$ را به‌صورت نسبت دیفرانسیلی $$ {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize} $$ در نظر بگیرید. عبارت $$ dx$$ را به سمت راست تساوی انتقال داده و معادله را بر $$h(y) $$ تقسیم می‌کنیم:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = p \left( x \right) h \left ( y \right) , } \Rightarrow { \frac { { d y } } { { h \left ( y \right ) } } = p \left ( x \right ) d x . } $$

البته باید مطمئن باشیم که $$ h\left( y \right) \ne 0 $$. اگر عدد $$ x_ 0 $$ وجود داشته باشد به‌گونه‌ای که $$ h\left( {{x_0}} \right) = 0 $$، آن‌گاه این عدد یک جواب برای معادله دیفرانسیل است. تقسیم بر $$h(y)$$ سبب از دست رفتن این جواب می‌شود.

با نوشتن $$ q\left( y \right) = {\large\frac{1}{{h\left( y \right)}}\normalsize} $$، معادله به‌صورت زیر درخواهد آمد:

$$ \large q \left ( y \right ) d y  = p \left ( x \right ) d x . $$

اکنون که متغیرها را جدا کرده‌ایم، می‌توانیم از معادله انتگرال بگیریم:

$$ \large { \int  { q \left ( y \right ) d y } } = { \int { p \left ( x \right ) d x }   } + { C } $$

که در آن، $$C$$ ثابت انتگرال‌گیری است.

با محاسبه انتگرال، خواهیم داشت:

$$ \large Q \left ( y \right ) = P \left ( x \right ) + C $$

که جواب عمومی معادله دیفرانسیل جداشدنی را نشان می‌دهد.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را برای آشنایی بهتر با روش حل معادلات جداشدنی بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

معادله دیفرانسیل $$ { \large \frac { { d y } } { { d x } } \normalsize } = y \left ( { y + 2 } \right ) $$ را حل کنید.

حل: در معادله بالا، $$ p\left( x \right) = 1 $$ و $$ h \left ( y \right ) = h \left ( y \right ) = y \left ( { y + 2 } \right ) $$ است. معادله را بر $$ h\left( y \right) $$ تقسیم می‌کنیم و $$dx$$ را به سمت راست انتقال می‌دهیم:

$$ \large \frac { { d y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = d x . $$

لازم به ذکر است که بعد از تقسیم، می‌توان گفت وقتی $$h(y)$$ صفر می‌شود،‌ $$y=0$$ و $$y=-2$$ جواب‌های معادله هستند. برای مثال، $$y=0$$ را در نظر بگیرید. واضح است که داریم:

$$ \large y = 0,\;\;dy = 0. $$

با جایگذاری روابط بالا در معادله، خواهیم داشت: $$0 = 0 $$. بنابراین، $$y=0$$ یکی از جواب‌های معادله است. به‌طریق مشابه می‌توان جواب بودن $$ y= -2 $$ را نیز بررسی کرد.

به معادله دیفرانسیل برمی‌گردیم و از آن انتگرال می‌گیریم:

$$ \large { \int { \frac { { d y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } } } = { \int { d x } + C . } $$

انتگرال سمت چپ را می‌توان با استفاده از تجزیه کسر انتگرال‌ده محاسبه کرد:

$$ \large { \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = \frac { A } { y } + \frac { B } { { y + 2 } } , \; \; } \Rightarrow
{ \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = \frac { { A \left ( { y + 2 } \right ) + B y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } , \; \; }\\ \large \Rightarrow
{ 1 \equiv A y + 2 A + B y , \; \; } \Rightarrow
{ 1 \equiv \left ( { A + B } \right ) y + 2 A , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ A + B = 0 }\\
{ 2 A = 1 }
\end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow
{ \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ A = \frac { 1 } { 2 } } \\
{ B = – \frac { 1 } { 2 } }
\end {array} } \right . . } $$

تجزیه انتگرال‌ده به کسرهای جزئی به‌صورت زیر است:

$$ \large { \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } } = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { 1 } { y } – \frac { 1 } { { y + 2 } } } \right ) . } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { { \frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { \frac { 1 } { y } – \frac { 1 } { { y + 2 } } } \right ) d y } } = { \int { d x } + C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \int { \frac { { d y } } { y } } – \int { \frac { { d y } } { { y + 2 } } } } \right ) } = { \int { d x } + C , \;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \ln \left | y \right | – \ln \left | { y + 2 } \right | } \right ) } = { x + C , \;\; } } \Rightarrow
{ \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { y } { { y + 2 } } } \right| = x + C,\;\;}\Rightarrow
{\ln \left| {\frac{y}{{y + 2}}} \right| = 2x + 2C.}$$

ثابت را به‌صورت $$ 2C = {C_1} $$ می‌نویسیم. جواب نهایی معادله به‌فرم زیر خواهد بود:

 $$ \large {\ln \left| {\frac{y}{{y + 2}}} \right| = 2x + {C_1},\;\;\;}\kern-0.3pt{y = 0,\;\;\;}\kern-0.3pt{y = – 2.} $$

جواب معادله به‌صورت ضمنی است. در این حالت می‌توان عبارت بالا را به‌صورت تابع صریح $$ y = f\left( {x,{C_1}} \right) $$ نوشت که $$C_1$$ یک ثابت است. البته این کار برای همه معادلات دیفرانسیل امکان‌پذیر نیست.

مثال ۲

جواب معادله دیفرانسیل $$ \left( {{x^2} + 4} \right)y’ = 2xy $$ را محاسبه کنید.

حل: معادله را به‌فرم زیر می‌نویسیم:

$$ \large \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) d y = 2 x y d x . $$

هردو سمت معادله را بر $$ \left( {{x^2} + 4} \right)y $$ تقسیم می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$ \large \frac { { d y } } { y } = \frac { { 2 x d x } } { { \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } } . $$

مشخص است که برای همه $$x$$های حقیقی $$ {{x^2} + 4} \ne 0 $$ است. بررسی می‌کنیم که آیا $$ y = 0 $$ جواب معادله هست یا خیر. بنابراین، $$y=0$$ و $$dy=0$$ را در معادله دیفرانسیل جایگذاری می‌کنیم. می‌بینیم که $$y=0$$ یکی از جواب‌های معادله است.

اکنون از معادله انتگرال می‌گیریم:

$$ \large { { \int { \frac { { d y } } { y } } } = { \int { \frac { { 2 x d x } } { { \left( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } } } } + { C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \ln \left | y \right | } = { \int { \frac { { d \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } + 4 } } } } + { C . } } $$

می‌دانیم که $$ d\left( {{x^2}} \right) $$ است. بنابراین:

$$ \large { \ln \left | y \right | = \int { \frac { { d \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } } { { { x ^ 2 } + 4 } } } + C , \;\; } \Rightarrow
{ \ln \left | y \right | = \ln \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) + C . } $$

ثابت $$ C$$ را به‌صورت $$ \ln {C_1} $$ می‌نویسیم که در آن، $$ {C_1} \gt 0 $$ است. در نتیجه:

$$ \large { \ln \left | y \right | = \ln \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) + \ln { C _ 1 } ,\;\; }\Rightarrow
{ \ln \left | y \right | = \ln \left ( { { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } \right ) , \;\; }\\ \large \Rightarrow
{ \left | y \right | = { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) , \;\; } \Rightarrow
{ y = \pm { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) . } $$

بنابراین، جواب معادله دیفرانسیل به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { y = \pm { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) , \;\;}\kern-0.3pt { y = 0 , \;\;}\kern-0.3pt
{ \text{,}\;\;}\kern-0.3pt { { C _ 1 } \gt 0.} $$

این جواب را می‌توان ساده‌تر کرد. درواقع، اگر از ثابت دلخواه $$C$$ استفاده کنیم که مقدار آن بین $$ -\infty $$ و $$ \infty $$ است، داریم:

$$ \large y = C \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) . $$

اگر $$ C = 0 $$ باشد، $$y=0$$ است.

مثال ۳

تمام جواب‌های معادله $$ y’ = – x{e^y} $$ را بیابید.

حل: معادله را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = – x { e ^ y } , \;\; } \Rightarrow
{ \frac { { d y } } { { { e ^ y } } } = – x d x , \;\; } \Rightarrow
{ { e ^ { – y } } d y = – x d x . } $$

واضح است که اگر معادله بر $$e^y$$ تقسیم کنیم، از آنجایی که $$ {e^y} \gt 0 $$ است، سبب از دست رفتن جواب‌ها نمی‌شود. بعد از انتگرال‌گیری داریم:

$$ \large { \int { { e ^ { – y } } d y } = \int { \left ( { – x } \right ) d x } + C , \;\; } \\ \large \Rightarrow
{ – { e ^ { – y } } = – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + C \;\;}\Rightarrow
{\;\;}\kern0pt { { e ^ { – y } } = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + C . } $$

جواب را می‌توان به‌فرم صریح زیر نمایش داد:

$$ \large { – y = \ln \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + C } \right )\;\;}\kern-0.3pt
{\Rightarrow\;\;}\kern0pt { y = – \ln \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + C } \right ) . } $$

در عبارت اخیر فرض می‌کنیم برای آنکه دامنه لگاریتم صحیح باشد، $$ C \gt 0 $$ است.

مثال ۴

جواب خصوصی معادله دیفرانسیل $$ \large x \left ( { y + 2 } \right ) y ’ = \ln x + 1 $$ را برای $$ y\left( 1 \right) = – 1 $$ به‌دست آورید.

حل: با تقسیم هردو سمت معادله بر $$x$$، داریم:

$$ \large { x \left ( { y + 2 } \right ) \frac { { d y } } { { d x } } = \ln x + 1 , \;\;} \Rightarrow
{ \left ( { y + 2 } \right ) d y = \frac { { \left ( { \ln x + 1 } \right ) d x } } { x } . } $$

فرض می‌کنیم $$ x \ne 0 $$ باشد،‌ زیرا دامنه معادله $$x>0 $$ است.

حاصل انتگرال‌گیری از معادله به‌صورت زیر است:

$$ \large { \int { \left ( { y + 2 } \right ) d y } } = { \int { \frac { { \left ( { \ln x + 1 } \right ) d x } } { x } } } + { C . } $$

انتگرال سمت راست به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { \int { \frac { { \left ( { \ln x + 1 } \right ) d x } } { x } } }
= { \int { \left ( { \ln x + 1 } \right ) d \left ( { \ln x } \right ) } } \\ \large
= { \int { \left ( { \ln x + 1 } \right ) d \left ( { \ln x + 1 } \right ) } }
= { \frac { { { { \left ( { \ln x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } { 2 } . } $$

بنابراین، جواب عمومی به‌فرم ضمنی زیر خواهد بود:

$$ \large { { { \frac{y ^ 2}{2} } + 2 y } = { \frac { { { { \left ( { \ln x + 1 } \right ) } ^ 2 } } } { 2 } } + { C , \;\; } } \Rightarrow
{ { { y ^ 2 } + 4 y } = { { \left ( { \ln x + 1 } \right ) ^ 2 } } + { { C _ 1 } , } } $$

که در آن $$ {C_1} = 2C $$ یک ثابت انتگرال‌گیری است. در ادامه، مقدار $$C_1$$ را محاسبه می‌کنیم که در شرایط اولیه $$y(1)=-1$$ صدق می‌کند:

$$ \large { { { \left ( { – 1 } \right ) ^ 2 } + 4 \left ( { – 1 } \right ) } = { { \left ( { \ln 1 + 1 } \right ) ^ 2 } + { C _ 1 } , \;\; } } \Rightarrow { { C _ 1 } = – 4 . } $$

بنابراین، جواب خصوصی که شرایط اولیه در آن صدق می‌کند، برابر است با:

$$ \large  { y ^ 2 } + 4 y = { \left ( { \ln x + 1 } \right ) ^ 2 } – 4 . $$

مثال ۵

جواب معادله دیفرانسیل $$ y ^\prime { \cot ^ 2 } x + \tan y = 0 $$ را به‌دست آورید.

حل: معادله را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } { \cot ^ 2 } x = – \tan y , \;\;}\Rightarrow
{{\cot ^2}xdy = – \tan ydx.} $$

دو سمت معادله را بر $$ \tan y\,{\cot ^2}x $$ تقسیم می‌کنیم:

$$ \large \require { cancel }
{ { \frac { { \cancel { { \cot } ^ 2 } x d y } } { { \tan y \, \cancel { { \cot } ^ 2 } x } } } = { – \frac { { \cancel { \tan y } d x } } { { \cancel { \tan y } \, { { \cot } ^ 2 } x } } , \;\; } } \Rightarrow
{ \frac { { d y } } { { \tan y } } = – \frac { { d x } } { { { { \cot } ^ 2 } x } } . } $$

جواب‌های ازدست‌رفته ناشی از تقسیم را بررسی می‌کنیم که احتمالاً دو ریشه دارد:

$$ \large \tan y \, { \cot ^ 2 } x = 0 $$

ریشه اول از معادله زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large { \;\; \tan y = 0 , \;\; } \Rightarrow
{ y = \pi n, \; } \kern-0.3pt { n \in Z , \;} \kern -0.3pt
{ d y = 0 . } $$

با جایگذاری این ریشه در معادلات اولیه می‌بینیم که $$ y = \pi n, \, n \in Z $$  یک جواب است.

دومین جواب، از معادله زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large { \cot ^ 2 } x = 0 . $$

و حل آن برابر است با:

$$ \large { x =\frac{\pi}{2}+ \pi n , \;\; } \kern-0.3pt { n \in Z , \;\; } \kern-0.3pt { d x = 0 } $$

که در معادله دیفرانسیل اولیه صدق نمی‌کند.

اکنون می‌توانیم از معادله انتگرال بگیریم و جواب عمومی را به‌دست آوریم:

$$ \large { { \int { \frac { { d y } } { { \tan y } } } } = { – \int { \frac { { d x } } { { { { \cot } ^ 2 } x } } } + C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \int { \frac { { d y } } { { \frac { { \sin y } } { { \cos y } } } } } } = { – \int { \frac { { d x } } { { \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } } } + C , \;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { \int { \frac { { \cos y d y } } { { \sin y } } } } = { – \int { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x d x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } + C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \int { \frac { { d \left ( { \sin y } \right ) } } { { \sin y } } } } = { – \int { \frac { { 1 – { \cos ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } d x } } + { C , \;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { \ln \left | { \sin y } \right | } = { – \int { \left ( { \frac { 1 }{ { { { \cos } ^ 2 } x } } – 1 } \right ) d x } } + { C , \;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { \ln \left | { \sin y } \right | } = { – \left ( { \tan x – x } \right ) + C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \ln \left | { \sin y } \right | } = { – \tan x + x + C . } } $$

بنابراین، جواب نهایی معادله برابر است با:

 $$ \large { { \ln \left | { \sin y } \right | + \tan x } – { x = C , \;\; } } \kern-0.3pt
{ { y = \pi n , \;\; } \kern-0.3pt { n \in Z . } } $$

مثال ۶

جواب خصوصی معادله دیفرانسیل $$ \left( {1 + {e^x}} \right)y’ = {e^x} $$ را برای شرایط اولیه $$ y\left( 0 \right) = 0 $$ به‌دست آورید.

حل: معادله را به‌فرم زیر می‌نویسیم:

$$ \large \left ( { 1 + { e ^ x } } \right ) d y = { e ^ x } d x . $$

با تقسیم آن بر $$ {1 + {e^x}} $$ داریم:

$$ \large d y = \frac { { { e ^ x} } } { { 1 + { e ^ x } } } d x . $$

از آن‌جایی که $$ {1 + {e^x}} \gt 0 $$ است،‌ جواب‌های معادله اصلی را از دست نمی‌دهیم. حاصل انتگرال‌گیری از این معادله، برابر است با:‌

$$ \large { \int { d y } = \int { \frac { { { e ^ x } } } { { 1 + { e ^ x } } } d x } + C , \;\; } \Rightarrow
{ y = \int { \frac { { d \left ( { { e ^ x } } \right ) } } { { 1 + { e ^ x } } } } + C , \;\; }\\ \large \Rightarrow
{ y = \int { \frac { { d \left ( { { e ^ x } + 1 } \right ) } } { { 1 + { e ^ x } } } } + C , \;\; } \Rightarrow
{ y = \ln \left ( { { e ^ x } + 1 } \right ) + C . } $$

اکنون ثابت $$C$$ را از شرایط اولیه $$ y(0) = 0 $$ به‌دست می‌آوریم:

 $$ \large { 0 = \ln \left ( { { e ^ 0 } + 1 } \right ) + C , \;\; } \Rightarrow
{ 0 = \ln 2 + C , \;\; } \Rightarrow
{ C = – \ln 2 . } $$

بنابراین، جواب نهایی معادله برابر است با:

$$ \large { y = \ln \left ( { { e ^ x } + 1 } \right ) – \ln 2 } = { \ln \frac { { { e ^ x } + 1 } } { 2 } . } $$

مثال ۷

معادله دیفرانسیل $$ y\left( {1 + xy} \right)dx =x\left( {1 – xy} \right)dy $$ را حل کنید.

حل: با ضرب عبارت $$xy$$ در دو سمت معادله، نمی‌توان متغیرها را جدا کرد. بنابراین، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large xy = t\;\; $$   یا   $$ \large y = \frac{t}{x} $$

بنابراین، رابطه دیفرانسیل‌ها به‌صورت زیر درخواهد آمد:

$$ \large d y = \frac { { x d t – t d x } } { { { x ^ 2 } } } .$$

با جایگذاری رابطه اخیر در معادله داریم:

$$ \large { \frac { t } { x } \left ( { 1 + t } \right ) d x } = { x \left ( { 1 – t } \right ) \frac { { x d t – t d x } } { { { x ^ 2 } } } . } $$

اکنون هردو طرف معادله را در $$x$$ ضرب می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$ \large { t \left ( { 1 + t } \right ) d x } = { \left ( { 1 – t } \right ) \left ( { x d t – t d x } \right ) . } $$

مقدار $$ x = 0 $$ یک جواب است که می‌توان آن را با جایگذاری مستقیم در معادله اثبات کرد.

معادله آخر را به‌صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$ \large { { t d x + \cancel { { t ^ 2 } d x } } = { x d t – t d x } -{ x t d t + \cancel { { t ^ 2 } d x } , \;\; } }\\ \large \Rightarrow
{ 2 t d t = x \left ( { 1 – t } \right ) d t . } $$

اکنون متغیرهای $$x$$ و $$t$$ جدا شده‌اند:

$$ \large { \frac { { 2 d x } } { x } = \frac { { \left ( { 1 – t } \right ) d t } } { t } \;\;}$$

یا

$$ \large { 2 \frac { { d x } } { x } = \left ( { \frac { 1 } { t } – 1 } \right ) d t . } $$

پس از انتگرال‌گیری داریم:

$$ \large { { 2 \int { \frac { { d x } } { x } } } = { \int { \left ( { \frac { 1 } { t } – 1 } \right ) d t } + C , \;\; } }\\ \large \Rightarrow
{ { 2 \ln \left | x \right | } = { \ln \left | t \right | – t + C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \ln { x ^ 2 } } = { \ln \left | t \right | – t + C . } } $$

مثال ۸

جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$ \left ( { x + y + 1 } \right ) d x + \left ( { 4 x + 4 y + 1 0 } \right ) d y = 0 $$ را به‌دست آورید.

حل: از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { x + y = u , \;\; } \Rightarrow { y = u – x , \;\; } \kern0pt
{ d y = d u – d x . } $$

با جایگذاری در معادله، داریم:

$$ \large { \left ( { u + 1 } \right ) d x } + { \left ( { 4 u + 1 0 } \right ) \left ( { d u – d x } \right ) } = { 0 . } $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large { u d x + d x + 4 u d u } + { 1 0 d u } – { 4 u d x } – { 1 0 d x } = { 0 , } \\ \large
{ – 3 u d x – 9 d x + 4 u d u } + { 1 0 d u } = { 0 , } \\ \large
{ – 3 \left ( { u + 3 } \right ) d x + 2 \left ( { 2 u + 5 } \right ) d u } = { 0 , } \\ \large
\frac { { 3 d x } } { 2 } = \frac { { 2 u + 5 } } { { u + 3 } } d u . $$

اکنون از معادله اخیر انتگرال می‌گیریم:

$$ \large { { \frac { 3 } { 2 } \int { d x } } = { \int { \frac { { 2 u + 5 } } { { u + 3 } } d u } + C ,\;\; } } \Rightarrow
{ { \frac { 3 } { 2 }\int { d x } } = { \int { \frac { { 2 u + 6 – 1 } } { { u + 3 } } d u } + C , \;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { \frac { 3 } { 2 } \int { d x } } = { \int { \left ( { 2 – \frac { 1 } { { u + 3 } } } \right ) d u } + C , \; \; } } \Rightarrow
{ { \frac { 3 } { 2 } x } = { 2 u – \ln \left | { u + 3 } \right | + C . } } $$

از آن‌جایی که تساوی $$ u = x + y $$ برقرار است، جواب نهایی را می‌توان به‌فرم ضمنی زیر نوشت:

$$ \large { { \frac { 3 } { 2 } x = 2 \left ( { x + y } \right ) } – { \ln \left | { x + y + 3 } \right | } + { C \; \; } } $$

یا

$$ \large \frac { x } { 2 } + 2 y – { \ln \left | { x + y + 3 } \right | } + { C = 0 . } $$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• مجموعه آموزش های معادلات دیفرانسیل به همراه حل نمونه سئوالات آزمون کارشناسی ارشد
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل بسل — به زبان ساده
• معادلات دیفرانسیل ضمنی — به زبان ساده

^^

معادله دیفرانسیل جدا شدنی

دانلود ویدیو

حل مثال معادله دیفرانسیل جدا شدنی

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. او مدتی در زمینه انرژی‌های تجدیدپذیر فعالیت کرده، و در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق و ریاضیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟