تعداد بازدید ها: 3,902
در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره سری‌ها، مباحثی مانند سری توانی، را معرفی کردیم. همچنین با همگرایی سری‌ها و کاربردهای آن‌ها در حل معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. همگرایی یا واگرایی سری، با استفاده از شرایط کافی اثبات می‌شود. آزمون مقایسه سری و آزمون مقایسه حدی آن که در این آموزش آن‌ها را بیان می‌کنیم، شرایط کافی همگرایی یا واگرایی سری‌ها هستند.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.
آزمون مقایسه سری
سری‌های $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ و $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ را در نظر بگیرید که در آن‌ها رابطه $$ 0 \lt {a_n} \le {b_n} $$ برای همه $$n$$ها برقرار است. آزمون‌های مقایسه به‌صورت زیر بیان می‌شوند:
- اگر سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ همگرا باشد، آن‌گاه $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ نیز همگرا خواهد بود.
- اگر سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ واگرا باشد، آن‌گاه $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ نیز واگرا خواهد بود.
آزمون مقایسه حدی
سری‌های $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ و $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ را در نظر بگیرید که در آن‌ها $$a_n$$ و $$b_n$$ برای همه $$n$$ها مثبت هستند. آزمون‌های مقایسه حدی به‌صورت زیر بیان می‌شوند:
- اگر $$ 0 \lt \lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} \lt \infty $$، آن‌گاه $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ و $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ هر دو همگرا یا واگرا هستند.
- اگر $$ \lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} = 0 $$، آن‌گاه همگرایی $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ همگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ را نتیجه می‌دهد.
- اگر $$ \lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} = \infty $$، آن‌گاه واگرایی $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$، واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ را نتیجه می‌دهد.
سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^p}}}\normalsize} $$ که سری $$p$$ نام دارد، برای $$ p \gt 1$$ همگرا و برای $$ 0 \lt p \le 1 $$ واگرا می‌شود.
مثال‌ها
در ادامه، چند مثال از کاربرد آزمون‌های مقایسه را در تعیین همگرایی سری‌ها بررسی می‌کنیم.
مثال ۱
همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}}}{{{n^2}}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.
حل: همان‌طور که می‌دانیم، $$ {e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} \le e $$ است. با استفاده از آزمون مقایسه داریم:
$$ \large {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}}}{{{n^2}}}} }
\le {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{e}{{{n^2}}}} }
= {e\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} .} $$
از آنجایی که سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ مانند یک سری $$p$$ با توان $$p=2$$ همگرا است، سری اصلی نیز همگرا است.
مثال ۲
همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^4}}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.
حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، رابطه $$ {\large\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^4}}}\normalsize}<{\large\frac{{{n^2}}}{{{n^4}}}\normalsize}= {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ برای همه $$n$$های صحیح مثبت برقرار است. از آنجایی که $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ یک سری $$p$$ با $$ p = 2 \gt 1 $$ است، همگرا می‌شود. در نتیجه، سری داده‌شده همگرا است.
مثال ۳
همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2}}}{{{n^3} – 3}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.
حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، رابطه $$ {n^3} – 3 \lt {n^3} $$ برای همه $$n$$های صحیح برقرار است.بنابراین، داریم:
$$ \large {\frac{1}{{{n^3} – 3}} \gt \frac{1}{{{n^3}}},\;\;}\Rightarrow
{{\frac{{{n^2}}}{{{n^3} – 3}} }\gt{ \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} }={ \frac{1}{n}.}} $$
از آنجایی که $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} $$ یک سری هارمونیک است، واگرا می‌شود. بنابراین، سری داده‌شده نیز با استفاده از آزمون مقایسه واگرا خواهد بود.
مثال ۴
همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{3n – 1}}{{2{n^3} – 4n + 5}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.
حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همگرایی سری فوق را با همگرایی سری $$p$$ دیگر $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ مقایسه می‌کنیم. در نتیجه، داریم:
$$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3n – 1}}{{2{n^3} – 4n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {3n – 1} \right){n^2}}}{{2{n^3} – 4n + 5}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3{n^3} – {n^2}}}{{2{n^3} – 4n + 5}}.} $$
حاصل تقسیم صورت و مخرج بر $$n^3$$ برابر است با:
$$ \large \require{cancel}
{L }={ \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} – \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} – \frac{{4n}}{{{n^3}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3 – \frac{1}{n}}}{{2 – \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} }={ \frac{3}{2}.} $$
بنابراین، با توجه به آزمون مقایسه حدی، سری همگرا خواهد بود.
مثال ۵
همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.
حل: این سری را با سری همگرای $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize} $$ مقایسه می‌کنیم. در نتیجه، خواهیم داشت:
$$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n \cdot {n^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{2{n^2} + n + 5}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + n + 5}} } \\ \large
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} + \frac{n}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^2}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{2 + \frac{1}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}} }={ \frac{1}{2}.} $$
بنابراین، با استفاده از آزمون مقایسه حدی می‌توان گفت سری داده‌شده همگرا است.
مثال ۶
همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 4}^\infty {\large\frac{n}{{{n^2} – 2n – 3}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.
حل: از آزمون مقایسه حدی کمک می‌گیریم و سری را با سری هارمونیک واگرای $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} $$ مقایسه می‌کنیم. برای محاسبه حد، صورت و مخرج را بر $$ n ^2$$ تقسیم می‌کنیم. در نتیجه داریم:
$$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{n}{{{n^2} – 2n – 3}}}}{{\frac{1}{n}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2} – 2n – 3}} } \\ \large
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} – \frac{{2n}}{{{n^2}}} – \frac{3}{{{n^2}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 – \frac{2}{n} – \frac{3}{{{n^2}}}}} }={ 1.} $$
بنابراین، با توجه به آزمون مقایسه حدی، سری واگرا است.
مثال ۷
همگرایی یا واگرایی سری زیر را تعیین کنید.
$$ \large {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} }+{ \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + \ldots }+{ \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} + \ldots } $$
حل: از آزمون مقایسه حدی کمک می‌گیریم و سری را با سری $$p$$ تعیین‌شده $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize} $$ مقایسه می‌کنیم. حد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:
$$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\cancel{n}\sqrt n }}{{\cancel{n}\sqrt {n + 1} }} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} }} } \\ \large
= {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}}}}{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}} + \frac{1}{n}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}}} }={ 1.} $$
بنابراین، از آزمون مقایسه حدی نتیجه می‌گیریم که سری اصلی همگرا است.
اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
- مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
- مجموعه آموزشی جامع ریاضی دبیرستان – علوم تجربی
- آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
- سری توانی — به زبان ساده
- حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش سری توانی
^^
فیلم های آموزش آزمون مقایسه سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
فیلم آموزشی آزمون مقایسه سری
فیلم آموزشی آزمون مقایسه حدی
«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. او مدتی در زمینه انرژی‌های تجدیدپذیر فعالیت کرده، و در حال حاضر، آموزش‌های ریاضیات، مهندسی برق و بورس مجله فرادرس را می‌نویسد.
بر اساس رای 5 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟